Номер 10.6, страница 152 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

10.6. a) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, у которого два угла равны и две стороны равны 8 см и 4 см.

б) В треугольнике одна из медиан является и высотой треугольника. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника, если две его стороны равны 12 см и 6 см.

а)

По условию, у треугольника два угла равны. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, также равны.

Даны две стороны треугольника: 8 см и 4 см. Так как треугольник равнобедренный, у него должны быть две равные стороны. Это приводит к двум возможным вариантам набора сторон:

1. Стороны треугольника равны 8 см, 8 см и 4 см.
2. Стороны треугольника равны 4 см, 4 см и 8 см.

Проверим оба случая на соответствие неравенству треугольника, согласно которому сумма длин двух любых сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны.

Случай 1: 8 см, 8 см, 4 см.
$8 + 8 > 4$ (16 > 4) – верно.
$8 + 4 > 8$ (12 > 8) – верно.
Следовательно, такой треугольник существует.

Случай 2: 4 см, 4 см, 8 см.
$4 + 4 > 8$ (8 > 8) – неверно, так как сумма должна быть строго больше.
Следовательно, треугольник с такими сторонами не существует.

Таким образом, мы имеем дело с равнобедренным треугольником со сторонами $a = 8$ см, $b = 8$ см и основанием $c = 4$ см.

Радиус $R$ описанной окружности можно найти по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ – стороны треугольника, а $S$ – его площадь.

Найдем площадь треугольника. Проведем высоту $h$ к основанию $c$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и делит основание пополам. В результате образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см и катетами $h$ и $c/2 = 4/2 = 2$ см.

По теореме Пифагора:
$h^2 + 2^2 = 8^2$
$h^2 + 4 = 64$
$h^2 = 60$
$h = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$ см.

Площадь треугольника равна:
$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{15} = 4\sqrt{15}$ см².

Теперь вычислим радиус описанной окружности:
$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S} = \frac{8 \cdot 8 \cdot 4}{4 \cdot 4\sqrt{15}} = \frac{256}{16\sqrt{15}} = \frac{16}{\sqrt{15}}$ см.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{15}$:
$R = \frac{16 \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = \frac{16\sqrt{15}}{15}$ см.

Ответ: $\frac{16\sqrt{15}}{15}$ см.

б)

По условию, в треугольнике одна из медиан является и высотой. Если в треугольнике медиана, проведенная к некоторой стороне, совпадает с высотой, проведенной к той же стороне, то такой треугольник является равнобедренным. Две стороны, сходящиеся в вершине, из которой проведена медиана-высота, равны.

Даны две стороны треугольника: 12 см и 6 см. Так как треугольник равнобедренный, возможны два случая для длин его сторон:

1. Стороны равны 12 см, 12 см и 6 см.
2. Стороны равны 6 см, 6 см и 12 см.

Проверим оба случая с помощью неравенства треугольника:

Случай 1: 12 см, 12 см, 6 см.
$12 + 12 > 6$ (24 > 6) – верно.
$12 + 6 > 12$ (18 > 12) – верно.
Такой треугольник существует.

Случай 2: 6 см, 6 см, 12 см.
$6 + 6 > 12$ (12 > 12) – неверно.
Такой треугольник не существует.

Следовательно, мы имеем равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $a = 12$ см, $b = 12$ см и основанием $c = 6$ см.

Требуется найти диаметр $D$ описанной окружности. Диаметр равен двум радиусам ($D = 2R$). Найдем сначала радиус $R$ по формуле $R = \frac{abc}{4S}$.

Сначала вычислим площадь треугольника $S$. Проведем высоту $h$ к основанию $c=6$. Эта высота делит основание на два отрезка по $c/2 = 6/2 = 3$ см.
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой 12 см и катетом 3 см:
$h^2 + 3^2 = 12^2$
$h^2 + 9 = 144$
$h^2 = 135$
$h = \sqrt{135} = \sqrt{9 \cdot 15} = 3\sqrt{15}$ см.

Площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3\sqrt{15} = 9\sqrt{15}$ см².

Вычислим радиус описанной окружности:
$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S} = \frac{12 \cdot 12 \cdot 6}{4 \cdot 9\sqrt{15}} = \frac{864}{36\sqrt{15}} = \frac{24}{\sqrt{15}}$ см.

Теперь найдем диаметр:
$D = 2R = 2 \cdot \frac{24}{\sqrt{15}} = \frac{48}{\sqrt{15}}$ см.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$D = \frac{48 \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = \frac{48\sqrt{15}}{15} = \frac{16\sqrt{15}}{5}$ см.

Ответ: $\frac{16\sqrt{15}}{5}$ см.