Номер 10.12, страница 153 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

10.12. Два угла треугольника равны $\beta$ и $\varphi$. Найдите радиус описанной около треугольника окружности, если площадь треугольника равна $S$.

Пусть углы треугольника равны $\alpha_1$, $\alpha_2$ и $\alpha_3$. По условию задачи, два угла равны $\beta$ и $\phi$. Пусть $\alpha_1 = \beta$ и $\alpha_2 = \phi$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $\pi$ радиан (или 180°). Следовательно, третий угол $\alpha_3$ равен:$\alpha_3 = \pi - (\beta + \phi)$.

Существует формула, связывающая площадь треугольника $S$, радиус описанной около него окружности $R$ и синусы его углов:$S = 2R^2 \sin\alpha_1 \sin\alpha_2 \sin\alpha_3$.

Подставим в эту формулу значения углов нашего треугольника:$S = 2R^2 \sin\beta \sin\phi \sin(\pi - (\beta + \phi))$.

Воспользуемся тригонометрическим тождеством (формулой приведения) $\sin(\pi - x) = \sin x$. Применительно к нашему выражению:$\sin(\pi - (\beta + \phi)) = \sin(\beta + \phi)$.

Таким образом, формула для площади преобразуется к виду:$S = 2R^2 \sin\beta \sin\phi \sin(\beta + \phi)$.

Теперь из этого уравнения выразим квадрат радиуса $R^2$:$R^2 = \frac{S}{2 \sin\beta \sin\phi \sin(\beta + \phi)}$.

Так как радиус $R$ является положительной величиной, для его нахождения извлечем квадратный корень из обеих частей равенства:$R = \sqrt{\frac{S}{2 \sin\beta \sin\phi \sin(\beta + \phi)}}$.

Ответ: $R = \sqrt{\frac{S}{2 \sin\beta \sin\phi \sin(\beta + \phi)}}$