Номер 11.6, страница 156 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

11.6. a) Меньшее основание трапеции равно $2\sqrt{13}$, боковые стороны — $\sqrt{3}$ и 2. Найдите большее основание трапеции, если сумма углов, прилежащих к нему, равна $30^\circ$.

б) Основания трапеции относятся как $1 : 3$, боковые стороны равны $\sqrt{2}$ и 2. Найдите меньшее основание трапеции, если сумма углов, прилежащих к нему, равна $315^\circ$.

а)

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее. По условию, меньшее основание $BC = 2\sqrt{13}$, боковые стороны $AB = \sqrt{3}$ и $CD = 2$. Пусть углы при большем основании равны $\angle A = \alpha$ и $\angle D = \delta$. Дано, что их сумма $\alpha + \delta = 30^\circ$. Требуется найти большее основание $AD$.

Продлим боковые стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $P$. Образуется треугольник $APD$, в котором $BC$ является отрезком, параллельным основанию $AD$. Треугольники $APD$ и $BPC$ подобны.

Сумма углов в треугольнике $APD$ равна $180^\circ$. Углы при основании этого треугольника равны $\alpha$ и $\delta$. Следовательно, угол при вершине $P$ равен:

$\angle APD = 180^\circ - (\alpha + \delta) = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Углы при основании $BC$ в треугольнике $BPC$ равны $\angle PBC = \alpha$ и $\angle PCB = \delta$, так как $BC \parallel AD$.

Применим теорему синусов к треугольникам $APD$ и $BPC$.

Для $\triangle APD$:

$\frac{AD}{\sin(\angle APD)} = \frac{AP}{\sin(\delta)} = \frac{DP}{\sin(\alpha)}$

Для $\triangle BPC$:

$\frac{BC}{\sin(\angle BPC)} = \frac{BP}{\sin(\delta)} = \frac{CP}{\sin(\alpha)}$

Из этих соотношений выразим стороны $AP, BP, DP, CP$. Обозначим $AD = a$ и $BC = b = 2\sqrt{13}$.

$AP = \frac{a \sin(\delta)}{\sin(150^\circ)}$ и $BP = \frac{b \sin(\delta)}{\sin(150^\circ)}$

$DP = \frac{a \sin(\alpha)}{\sin(150^\circ)}$ и $CP = \frac{b \sin(\alpha)}{\sin(150^\circ)}$

Мы знаем, что $AP = AB + BP$ и $DP = CD + CP$. Обозначим $AB = c = \sqrt{3}$ и $CD = d = 2$.

Подставим выражения для сторон:

$\frac{a \sin(\delta)}{\sin(150^\circ)} = c + \frac{b \sin(\delta)}{\sin(150^\circ)} \implies (a-b)\sin(\delta) = c \sin(150^\circ)$

$\frac{a \sin(\alpha)}{\sin(150^\circ)} = d + \frac{b \sin(\alpha)}{\sin(150^\circ)} \implies (a-b)\sin(\alpha) = d \sin(150^\circ)$

Подставим известные значения: $b = 2\sqrt{13}$, $c = \sqrt{3}$, $d = 2$, и $\sin(150^\circ) = \sin(30^\circ) = 1/2$.

$(a - 2\sqrt{13})\sin(\delta) = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$(a - 2\sqrt{13})\sin(\alpha) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

Пусть $K = a - 2\sqrt{13}$. Тогда система уравнений примет вид:

$K\sin(\delta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$K\sin(\alpha) = 1$

Отсюда $\sin(\delta) = \frac{\sqrt{3}}{2K}$ и $\sin(\alpha) = \frac{1}{K}$.

Используем условие $\alpha + \delta = 30^\circ$, откуда $\delta = 30^\circ - \alpha$. Подставим в первое уравнение:

$K\sin(30^\circ - \alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$K(\sin(30^\circ)\cos(\alpha) - \cos(30^\circ)\sin(\alpha)) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$K(\frac{1}{2}\cos(\alpha) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(\alpha)) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(\alpha) - \sqrt{3}\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{K}$

Так как $\sin(\alpha) = \frac{1}{K}$, то $\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - \frac{1}{K^2}} = \frac{\sqrt{K^2-1}}{K}$ (угол $\alpha$ острый).

Подставим выражения для синуса и косинуса в полученное уравнение:

$\frac{\sqrt{K^2-1}}{K} - \sqrt{3}\frac{1}{K} = \frac{\sqrt{3}}{K}$

$\sqrt{K^2-1} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$

$\sqrt{K^2-1} = 2\sqrt{3}$

Возведем обе части в квадрат:

$K^2 - 1 = (2\sqrt{3})^2 = 12$

$K^2 = 13 \implies K = \sqrt{13}$

Вспомним, что $K = a - 2\sqrt{13}$:

$a - 2\sqrt{13} = \sqrt{13}$

$a = 3\sqrt{13}$

Ответ: $3\sqrt{13}$.

б)

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее. По условию, основания относятся как $1:3$, то есть $AD = 3 \cdot BC$. Обозначим $BC = x$, тогда $AD = 3x$. Боковые стороны $AB = \sqrt{2}$ и $CD = 2$.

Сумма углов, прилежащих к меньшему основанию, равна $\angle B + \angle C = 315^\circ$. В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$:

$\angle A + \angle B = 180^\circ$

$\angle D + \angle C = 180^\circ$

Сложив эти два равенства, получим: $(\angle A + \angle D) + (\angle B + \angle C) = 360^\circ$.

Подставим известную сумму углов при меньшем основании:

$\angle A + \angle D + 315^\circ = 360^\circ$

Сумма углов при большем основании: $\angle A + \angle D = 360^\circ - 315^\circ = 45^\circ$.

Далее, задача решается аналогично пункту а). Продлим боковые стороны до пересечения в точке $P$. Угол $\angle APD$ в образовавшемся треугольнике $APD$ равен:

$\angle APD = 180^\circ - (\angle A + \angle D) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Пусть $\angle A = \alpha$ и $\angle D = \delta$. Используем те же формулы, полученные из теоремы синусов:

$(AD-BC)\sin(\delta) = AB \sin(\angle APD)$

$(AD-BC)\sin(\alpha) = CD \sin(\angle APD)$

Подставим известные значения: $AD - BC = 3x - x = 2x$, $AB = \sqrt{2}$, $CD = 2$, и $\sin(135^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$2x \sin(\delta) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$

$2x \sin(\alpha) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

Из этой системы получаем:

$\sin(\delta) = \frac{1}{2x}$

$\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2x}$

Используем условие $\alpha + \delta = 45^\circ$, откуда $\delta = 45^\circ - \alpha$. Подставляем в первое уравнение:

$\sin(45^\circ - \alpha) = \frac{1}{2x}$

$\sin(45^\circ)\cos(\alpha) - \cos(45^\circ)\sin(\alpha) = \frac{1}{2x}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(\alpha) - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(\alpha) = \frac{1}{2x}$

$\cos(\alpha) - \sin(\alpha) = \frac{1}{x\sqrt{2}}$

Так как $\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2x}$, то $\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - \frac{2}{4x^2}} = \frac{\sqrt{4x^2-2}}{2x}$.

Подставим в уравнение:

$\frac{\sqrt{4x^2-2}}{2x} - \frac{\sqrt{2}}{2x} = \frac{1}{x\sqrt{2}}$

Умножим обе части на $2x$:

$\sqrt{4x^2-2} - \sqrt{2} = \frac{2x}{x\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

$\sqrt{4x^2-2} = 2\sqrt{2}$

Возведем обе части в квадрат:

$4x^2 - 2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$

$4x^2 = 10$

$x^2 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

$x = \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$

Требовалось найти меньшее основание, которое мы обозначили за $x$.

Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{2}$.