Номер 11.10, страница 156 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

11.10. Биссектриса треугольника делит его сторону на два отрезка, разность длин которых равна 2 см. Найдите длину этой биссектрисы, если две другие стороны треугольника равны 15 см и 18 см.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором $AD$ — биссектриса угла $A$. Стороны, прилежащие к этому углу, равны $AB = 15$ см и $AC = 18$ см. Биссектриса $AD$ делит противолежащую сторону $BC$ на отрезки $BD$ и $DC$.

Согласно свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$

Подставим известные значения сторон:

$\frac{BD}{DC} = \frac{15}{18} = \frac{5}{6}$

Из этого соотношения следует, что $BD < DC$. По условию задачи, разность длин этих отрезков равна 2 см, значит:

$DC - BD = 2$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{BD}{DC} = \frac{5}{6} \\ DC - BD = 2 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $BD$ через $DC$:

$BD = \frac{5}{6}DC$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$DC - \frac{5}{6}DC = 2$

$\frac{1}{6}DC = 2$

$DC = 12$ см.

Теперь найдем длину $BD$:

$BD = 12 - 2 = 10$ см.

Итак, биссектриса делит сторону на отрезки длиной 10 см и 12 см.

Длину биссектрисы $AD$ (обозначим ее как $l_a$) можно найти по формуле:

$l_a^2 = AB \cdot AC - BD \cdot DC$

Подставим все известные значения в формулу:

$l_a^2 = 15 \cdot 18 - 10 \cdot 12$

$l_a^2 = 270 - 120$

$l_a^2 = 150$

$l_a = \sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6}$ см.

Ответ: $5\sqrt{6}$ см.