Номер 11.9, страница 156 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

11.9. $ABCD$ — трапеция с основаниями $BC$ и $AD$, $AC = 3$, $BD = 5$, а угол между диагоналями равен $120^\circ$. Найдите сумму длин оснований $BC$ и $AD$.

Для решения этой задачи воспользуемся методом параллельного переноса одной из диагоналей.

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания $AD$ в точке $E$.

Рассмотрим получившийся четырехугольник $BCED$. В нем стороны $BC$ и $DE$ параллельны, так как они лежат на параллельных прямых $BC$ и $AE$. Стороны $BD$ и $CE$ параллельны по построению. Следовательно, $BCED$ — параллелограмм. Из свойств параллелограмма следует, что $CE = BD = 5$ и $BC = DE$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACE$. Его стороны равны:

• $AC = 3$ (по условию).
• $CE = BD = 5$ (из свойства параллелограмма $BCED$).
• $AE = AD + DE = AD + BC$. Длина стороны $AE$ равна сумме длин оснований трапеции, которую нам и нужно найти.

Чтобы найти длину стороны $AE$, применим теорему косинусов к треугольнику $ACE$. Для этого нам нужно найти угол $\angle ACE$.
Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Угол между диагоналями равен $120°$. Это означает, что один из углов при их пересечении равен $120°$, а смежный с ним — $180° - 120° = 60°$. Пусть тупой угол равен $120°$, то есть $\angle AOD = \angle BOC = 120°$, тогда острый угол $\angle AOB = \angle COD = 60°$.

Угол $\angle ACE$ состоит из двух углов: $\angle ACE = \angle ACD + \angle DCE$.
Так как $CE \parallel BD$, то углы $\angle DCE$ и $\angle CDB$ являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых $CE$ и $BD$ и секущей $CD$. Следовательно, $\angle DCE = \angle CDB$.
Таким образом, $\angle ACE = \angle ACD + \angle CDB$.

Рассмотрим треугольник $OCD$. Сумма его углов равна $180°$: $\angle OCD + \angle ODC + \angle COD = 180°$.
Так как точка $O$ лежит на отрезках $AC$ и $BD$, то $\angle OCD$ это тот же угол, что и $\angle ACD$, а $\angle ODC$ — тот же, что и $\angle CDB$.
Значит, $\angle ACD + \angle CDB = 180° - \angle COD$.
Мы получили, что $\angle ACE = 180° - \angle COD$.
Поскольку $\angle COD = 60°$, то $\angle ACE = 180° - 60° = 120°$.

Теперь мы можем применить теорему косинусов для треугольника $ACE$, чтобы найти длину стороны $AE$:
$AE^2 = AC^2 + CE^2 - 2 \cdot AC \cdot CE \cdot \cos(\angle ACE)$
$AE^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(120°)$
$AE^2 = 9 + 25 - 30 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$
$AE^2 = 34 + 15$
$AE^2 = 49$
$AE = \sqrt{49} = 7$.

Так как $AE = AD + BC$, то сумма длин оснований трапеции равна 7.

Ответ: 7.