Номер 13.1, страница 159 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

13.1. По данным рисунков 234, а)–д) найдите неизвестные ве-личины.

а) $\angle BOE$ — ?

б) $A_1A_2...A_n$ — правильный $n$-угольник, $\alpha = 168^\circ$; $n$ — ?

в) $x$ — ?

г) O — центр правильного $n$-угольника $ABCD...T$; $n$ — ?

д) O — центр правильного $n$-угольника $A_1A_2...A_n$, $S_{A_1A_2A_3O} = 6$; $S_{A_1A_2...A_n}$ — ?

Рис. 234

а) На рисунке изображен правильный многоугольник, так как все его стороны отмечены как равные. Подсчитав количество сторон (AB, BC, CD, DE, EF, FM, MN, NA), получаем, что это восьмиугольник, то есть $n=8$. Центр описанной окружности находится в точке О. Угол $\angle BOE$ является центральным углом, опирающимся на дугу BСDE. Эта дуга состоит из трех сторон правильного восьмиугольника: BC, CD и DE.
Центральный угол, соответствующий одной стороне правильного n-угольника, вычисляется по формуле $\frac{360^\circ}{n}$.
Для нашего восьмиугольника центральный угол, опирающийся на одну сторону, равен $\frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$.
Следовательно, $\angle BOC = \angle COD = \angle DOE = 45^\circ$.
Угол $\angle BOE$ равен сумме этих трех углов:
$\angle BOE = \angle BOC + \angle COD + \angle DOE = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$.
Ответ: $135^\circ$.

б) Дан правильный n-угольник $A_1A_2...A_n$, внутренний угол которого $\alpha = 168^\circ$. Требуется найти число сторон $n$.
Формула для внутреннего угла правильного n-угольника: $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$.
Подставим известное значение угла $\alpha$:
$168 = \frac{(n-2) \cdot 180}{n}$
$168n = 180(n-2)$
$168n = 180n - 360$
$180n - 168n = 360$
$12n = 360$
$n = \frac{360}{12} = 30$.
Таким образом, многоугольник имеет 30 сторон.
Ответ: $n = 30$.

в) На рисунке изображен многоугольник, у которого все стороны и все углы равны, следовательно, это правильный многоугольник. Подсчитав число сторон, видим, что их 5. Значит, это правильный пятиугольник ($n=5$). Требуется найти величину внутреннего угла $x$.
Воспользуемся формулой для внутреннего угла правильного n-угольника: $x = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$.
Подставим $n=5$:
$x = \frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{5} = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$.
Ответ: $x = 108^\circ$.

г) Дан правильный n-угольник ABCD...T с центром O. Известно, что центральный угол $\angle AOD = 108^\circ$. Требуется найти число сторон $n$.
Центральный угол $\angle AOD$ опирается на дугу, которая стягивается тремя сторонами многоугольника: AB, BC и CD.
Пусть центральный угол, соответствующий одной стороне, равен $\beta$. Тогда $\angle AOD = 3\beta$.
$3\beta = 108^\circ$, откуда $\beta = \frac{108^\circ}{3} = 36^\circ$.
С другой стороны, центральный угол правильного n-угольника связан с числом сторон формулой $\beta = \frac{360^\circ}{n}$.
Приравняем полученное значение $\beta$:
$36^\circ = \frac{360^\circ}{n}$
$n = \frac{360}{36} = 10$.
Таким образом, это десятиугольник.
Ответ: $n = 10$.

д) Дан правильный n-угольник $A_1A_2...A_n$ с центром O. Требуется найти его площадь $S_{A_1A_2...A_n}$.
1. Найдем число сторон $n$. Нам дан внутренний угол многоугольника $\angle A_3A_4A_5 = 165^\circ$.
Используя формулу для внутреннего угла $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$:
$165 = \frac{(n-2) \cdot 180}{n}$
$165n = 180n - 360$
$15n = 360$
$n = \frac{360}{15} = 24$.
Многоугольник является правильным 24-угольником.
2. Найдем площадь многоугольника. Правильный n-угольник можно разбить на $n$ равных равнобедренных треугольников с общей вершиной в центре O. В нашем случае, это 24 треугольника вида $\triangle OA_1A_2$.
Нам дана площадь четырехугольника $A_1A_2A_3O$, равная 6. Этот четырехугольник состоит из двух таких треугольников: $\triangle OA_1A_2$ и $\triangle OA_2A_3$.
$S_{A_1A_2A_3O} = S_{\triangle OA_1A_2} + S_{\triangle OA_2A_3}$.
Поскольку треугольники равны, $S_{A_1A_2A_3O} = 2 \cdot S_{\triangle OA_1A_2}$.
Отсюда найдем площадь одного треугольника:
$S_{\triangle OA_1A_2} = \frac{S_{A_1A_2A_3O}}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
3. Общая площадь многоугольника равна произведению числа сторон на площадь одного такого треугольника:
$S_{A_1A_2...A_n} = n \cdot S_{\triangle OA_1A_2} = 24 \cdot 3 = 72$.
Ответ: $72$.