Номер 16.10, страница 171 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.10. a) Площадь сектора круга с градусной мерой $54^\circ$ равна $3\pi$ $\text{см}^2$. Найдите длину дуги окружности, ограничивающей этот сектор.

б) Длина дуги окружности с градусной мерой $216^\circ$ равна $3\pi$ см. Найдите площадь сектора круга того же радиуса, ограниченного этой дугой.

а) Для решения задачи воспользуемся формулой площади сектора круга $S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^{\circ}}$, где $R$ – это радиус круга, а $\alpha$ – градусная мера центрального угла. По условию, площадь сектора $S_{сектора} = 3\pi$ см$^2$, а угол $\alpha = 54^{\circ}$. Подставим эти данные в формулу, чтобы найти радиус $R$:$3\pi = \frac{\pi R^2 \cdot 54}{360}$Сократим обе части уравнения на $\pi$ и упростим дробь $\frac{54}{360}$, разделив числитель и знаменатель на 18: $\frac{54}{360} = \frac{3}{20}$. Получим уравнение:$3 = R^2 \cdot \frac{3}{20}$Отсюда выразим и найдем $R^2$:$R^2 = \frac{3 \cdot 20}{3} = 20$Следовательно, радиус круга $R = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ см. Теперь найдем длину дуги $L_{дуги}$ по формуле $L_{дуги} = \frac{2\pi R \alpha}{360^{\circ}}$. Подставим найденный радиус и известный угол:$L_{дуги} = \frac{2\pi (2\sqrt{5}) \cdot 54}{360} = 4\pi\sqrt{5} \cdot \frac{3}{20} = \frac{12\pi\sqrt{5}}{20} = \frac{3\pi\sqrt{5}}{5}$ см.Ответ: $\frac{3\pi\sqrt{5}}{5}$ см.

б) Для решения этой задачи воспользуемся формулой длины дуги окружности $L_{дуги} = \frac{2\pi R \alpha}{360^{\circ}}$. По условию, длина дуги $L_{дуги} = 3\pi$ см, а ее градусная мера $\alpha = 216^{\circ}$. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти радиус $R$ того же круга:$3\pi = \frac{2\pi R \cdot 216}{360}$Сократим дробь $\frac{216}{360}$, разделив числитель и знаменатель на 72: $\frac{216}{360} = \frac{3}{5}$. Теперь уравнение выглядит так:$3\pi = 2\pi R \cdot \frac{3}{5}$Сократим обе части на $3\pi$:$1 = \frac{2R}{5}$Отсюда находим радиус $R = \frac{5}{2}$ см. Площадь сектора $S_{сектора}$ можно вычислить по более удобной формуле, связывающей площадь с длиной дуги и радиусом: $S_{сектора} = \frac{1}{2} L_{дуги} R$. Подставим известные и найденные значения:$S_{сектора} = \frac{1}{2} \cdot 3\pi \cdot \frac{5}{2} = \frac{15\pi}{4}$ см$^2$.Ответ: $\frac{15\pi}{4}$ см$^2$.