Номер 16.16, страница 172 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.16. a) Дан полукруг с диаметром $AC$. Хорды $AK$ и $CP$ отсекают дуги в $30^\circ$. Найдите площадь фигуры, ограниченной дугой $KP$ и хордами $AK$ и $AP$, если площадь полукруга равна $9 \text{ см}^2$.

б) Дан полукруг с диаметром $AB$. Градусные меры дуг $AC$ и $BP$ равны по $45^\circ$. Найдите площадь полукруга, если площадь фигуры, ограниченной хордами $AC$ и $AP$ и дугой $CP$, равна $12 \text{ см}^2$.

а)

Пусть $S_{полукруга}$ — площадь полукруга, а $R$ — его радиус. По условию, $S_{полукруга} = 9$ см². Площадь полукруга вычисляется по формуле $S_{полукруга} = \frac{1}{2}\pi R^2$. Отсюда площадь всего круга $S_{круга} = 2 \cdot S_{полукруга} = 2 \cdot 9 = 18$ см².

Пусть $O$ — центр полукруга, который является серединой диаметра $AC$. Точки $A, P, K, C$ лежат на полуокружности. Хорды $AK$ и $CP$ отсекают дуги в $30^\circ$. Это означает, что градусные меры дуг $AP$ и $CK$ равны $30^\circ$.

Градусная мера дуги всего полукруга равна $180^\circ$. Дуга $AC$ состоит из трех дуг: $AP, PK, KC$. Следовательно, градусная мера дуги $PK$ равна: $ \text{дуга } PK = 180^\circ - \text{дуга } AP - \text{дуга } KC = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ $.

Центральный угол, опирающийся на дугу, равен градусной мере этой дуги. Таким образом, центральный угол $\angle POK = 120^\circ$.

Площадь фигуры, ограниченной дугой $KP$ и хордами $AK$ и $AP$, можно представить как сумму площади треугольника $\triangle APK$ и площади сегмента, ограниченного дугой $KP$ и хордой $KP$. $S_{фигуры} = S_{\triangle APK} + S_{сегмента KP}$.

Площадь сектора $POK$ также можно представить как сумму площади треугольника $\triangle POK$ и того же сегмента $KP$: $S_{сектора POK} = S_{\triangle POK} + S_{сегмента KP}$.

Сравним площади треугольников $\triangle APK$ и $\triangle POK$. Поскольку дуги $AP$ и $CK$ равны, то хорды, стягивающие их, также равны. Более того, это означает, что хорда $PK$ параллельна диаметру $AC$. У треугольников $\triangle APK$ и $\triangle POK$ общее основание $PK$. Высота $\triangle APK$, проведенная из вершины $A$ к основанию $PK$, равна расстоянию от точки $A$ до прямой $PK$. Высота $\triangle POK$, проведенная из вершины $O$ к основанию $PK$, равна расстоянию от точки $O$ до прямой $PK$. Так как точки $A$ и $O$ лежат на прямой $AC$, а прямая $PK$ параллельна прямой $AC$, то эти высоты равны. Следовательно, площади треугольников равны: $S_{\triangle APK} = S_{\triangle POK}$.

Из этого следует, что искомая площадь фигуры равна площади сектора $POK$: $S_{фигуры} = S_{сектора POK}$.

Площадь сектора вычисляется по формуле $S_{сектора} = S_{круга} \cdot \frac{\text{угол сектора}}{360^\circ}$. $S_{сектора POK} = 18 \cdot \frac{120^\circ}{360^\circ} = 18 \cdot \frac{1}{3} = 6$ см².

Ответ: 6 см².

б)

Пусть $S_{полукруга}$ — искомая площадь полукруга, а $R$ — его радиус. Диаметр полукруга — $AB$. Пусть $O$ — центр полукруга, который является серединой диаметра $AB$. Точки $C$ и $P$ лежат на полуокружности.

По условию, градусные меры дуг $AC$ и $BP$ равны по $45^\circ$. Центральные углы, опирающиеся на эти дуги, равны их градусным мерам: $\angle AOC = 45^\circ$ и $\angle BOP = 45^\circ$.

Градусная мера дуги всего полукруга равна $180^\circ$. Дуга $AB$ состоит из трех дуг: $AC, CP, PB$. Следовательно, градусная мера дуги $CP$ равна: $ \text{дуга } CP = 180^\circ - \text{дуга } AC - \text{дуга } BP = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ $.

Центральный угол, опирающийся на дугу $CP$, равен $\angle COP = 90^\circ$.

Площадь фигуры, ограниченной хордами $AC$ и $AP$ и дугой $CP$, по условию равна $12$ см². Обозначим эту площадь $S_{фигуры}$. $S_{фигуры}$ можно представить как сумму площади треугольника $\triangle ACP$ и площади сегмента, ограниченного дугой $CP$ и хордой $CP$: $S_{фигуры} = S_{\triangle ACP} + S_{сегмента CP}$.

Площадь сектора $COP$ равна сумме площади треугольника $\triangle COP$ и площади того же сегмента $CP$: $S_{сектора COP} = S_{\triangle COP} + S_{сегмента CP}$.

Аналогично пункту а), докажем, что $S_{\triangle ACP} = S_{\triangle COP}$. Так как дуги $AC$ и $BP$ равны (по $45^\circ$), то хорда $CP$ параллельна диаметру $AB$. Треугольники $\triangle ACP$ и $\triangle COP$ имеют общее основание $CP$. Их высоты, проведенные из вершин $A$ и $O$ к прямой $CP$, равны, так как точки $A$ и $O$ лежат на прямой $AB$, параллельной $CP$. Следовательно, $S_{\triangle ACP} = S_{\triangle COP}$.

Таким образом, площадь фигуры равна площади сектора $COP$: $S_{фигуры} = S_{сектора COP} = 12$ см².

Площадь сектора и площадь полукруга относятся так же, как их центральные углы: $\frac{S_{сектора COP}}{S_{полукруга}} = \frac{\angle COP}{180^\circ}$.

Подставляем известные значения: $\frac{12}{S_{полукруга}} = \frac{90^\circ}{180^\circ} = \frac{1}{2}$.

Отсюда находим площадь полукруга: $S_{полукруга} = 12 \cdot 2 = 24$ см².

Ответ: 24 см².