Номер 2, страница 174 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

2. a) Угол при вершине равнобедренного треугольника в три раза меньше внешнего угла при основании этого треугольника. Найдите угол при вершине треугольника.

б) Угол при вершине равнобедренного треугольника на $15^\circ$ меньше внешнего угла при основании этого треугольника. Найдите внутренний угол при основании треугольника.

а)

Пусть в равнобедренном треугольнике угол при вершине равен $\beta$, а равные углы при основании равны $\alpha$. Внешний угол при основании треугольника, обозначим его $\gamma_{ext}$, смежен с внутренним углом при основании $\alpha$. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух других внутренних углов, не смежных с ним. Так как углы при основании равны, то внешний угол при одном основании равен сумме угла при вершине и угла при другом основании: $\gamma_{ext} = \alpha + \beta$.

По условию задачи, угол при вершине в три раза меньше внешнего угла при основании. Запишем это в виде формулы: $\beta = \frac{1}{3} \gamma_{ext}$, или что то же самое, $\gamma_{ext} = 3\beta$.

Теперь у нас есть два выражения для внешнего угла $\gamma_{ext}$. Приравняем их: $\alpha + \beta = 3\beta$.

Из этого уравнения выразим угол при основании $\alpha$ через угол при вершине $\beta$: $\alpha = 3\beta - \beta = 2\beta$.

Сумма всех внутренних углов треугольника равна $180^\circ$. Для равнобедренного треугольника это записывается как: $\alpha + \alpha + \beta = 180^\circ$ $2\alpha + \beta = 180^\circ$.

Подставим в это уравнение найденное нами соотношение $\alpha = 2\beta$: $2(2\beta) + \beta = 180^\circ$ $4\beta + \beta = 180^\circ$ $5\beta = 180^\circ$ $\beta = \frac{180^\circ}{5}$ $\beta = 36^\circ$.

Ответ: $36^\circ$.

б)

Обозначим углы так же, как и в предыдущей задаче: $\beta$ — угол при вершине, $\alpha$ — внутренний угол при основании, $\gamma_{ext}$ — внешний угол при основании. Воспользуемся свойством внешнего угла треугольника: внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. $\gamma_{ext} = \alpha + \beta$.

По условию задачи, угол при вершине на $15^\circ$ меньше внешнего угла при основании: $\beta = \gamma_{ext} - 15^\circ$.

Мы получили систему из двух уравнений с тремя переменными:
1) $\gamma_{ext} = \alpha + \beta$
2) $\beta = \gamma_{ext} - 15^\circ$

Подставим выражение для $\beta$ из второго уравнения в первое: $\gamma_{ext} = \alpha + (\gamma_{ext} - 15^\circ)$.

Теперь решим полученное уравнение. Раскроем скобки: $\gamma_{ext} = \alpha + \gamma_{ext} - 15^\circ$.

Вычтем $\gamma_{ext}$ из обеих частей уравнения: $0 = \alpha - 15^\circ$.

Отсюда находим искомый внутренний угол при основании: $\alpha = 15^\circ$.

Ответ: $15^\circ$.