Номер 9, страница 176 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9. a) В прямоугольном треугольнике ABC $\angle C = 90^\circ$, CK — высота, $\sin \angle A = \frac{5}{13}$. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника AKC равна 1,44.

б) В прямоугольном треугольнике ABC $\angle C = 90^\circ$, CH — высота, $\cos \angle A = \frac{5}{13}$. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника AHC равна 2,5.

а)

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ ($ \angle C = 90^\circ $) и треугольник $AKC$, образованный высотой $CK$, проведенной к гипотенузе $AB$.

Треугольник $AKC$ также является прямоугольным, так как $CK$ — высота, следовательно, $ \angle AKC = 90^\circ $.

Сравним треугольники $AKC$ и $ABC$. У них есть общий угол $ \angle A $ и по одному прямому углу: $ \angle AKC = \angle ACB = 90^\circ $. Следовательно, треугольник $AKC$ подобен треугольнику $ABC$ по двум углам ($ \triangle AKC \sim \triangle ABC $).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$. Коэффициент подобия в данном случае равен отношению соответствующих сторон $k = \frac{AC}{AB}$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ это отношение равно косинусу угла $A$: $ \cos \angle A = \frac{AC}{AB} $.

Таким образом, отношение площадей можно записать как:

$ \frac{S_{AKC}}{S_{ABC}} = (\frac{AC}{AB})^2 = \cos^2 \angle A $

По условию нам дан $ \sin \angle A = \frac{5}{13} $. Найдем $ \cos^2 \angle A $ из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \angle A + \cos^2 \angle A = 1 $:

$ \cos^2 \angle A = 1 - \sin^2 \angle A = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} $.

Теперь мы можем найти площадь треугольника $ABC$. Нам известно, что $ S_{AKC} = 1,44 $.

$ \frac{1,44}{S_{ABC}} = \frac{144}{169} $

Отсюда выражаем $ S_{ABC} $:

$ S_{ABC} = 1,44 \cdot \frac{169}{144} = \frac{144}{100} \cdot \frac{169}{144} = \frac{169}{100} = 1,69 $.

Ответ: 1,69.

б)

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ ($ \angle C = 90^\circ $) и треугольник $AHC$, образованный высотой $CH$, проведенной к гипотенузе $AB$.

Треугольник $AHC$ является прямоугольным, так как $CH$ — высота, следовательно, $ \angle AHC = 90^\circ $.

Треугольники $AHC$ и $ABC$ подобны, так как у них общий угол $A$ и оба они имеют по прямому углу ($ \angle AHC = \angle ACB = 90^\circ $). То есть, $ \triangle AHC \sim \triangle ABC $.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответствующих сторон $k = \frac{AC}{AB}$. В свою очередь, в прямоугольном треугольнике $ABC$ это отношение равно $ \cos \angle A $.

Следовательно, $ \frac{S_{AHC}}{S_{ABC}} = (\frac{AC}{AB})^2 = \cos^2 \angle A $.

По условию нам дано значение $ \cos \angle A = \frac{5}{13} $. Возведем его в квадрат:

$ \cos^2 \angle A = (\frac{5}{13})^2 = \frac{25}{169} $.

Площадь треугольника $AHC$ дана и равна $ S_{AHC} = 2,5 $. Подставим известные значения в формулу отношения площадей:

$ \frac{2,5}{S_{ABC}} = \frac{25}{169} $

Выразим и найдем $ S_{ABC} $:

$ S_{ABC} = 2,5 \cdot \frac{169}{25} = \frac{25}{10} \cdot \frac{169}{25} = \frac{169}{10} = 16,9 $.

Ответ: 16,9.