Номер 13, страница 177 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

13. a) В разностороннем треугольнике средний по величине угол равен 60°. Наименьшая сторона треугольника в четыре раза короче наибольшей стороны. Найдите тангенс наименьшего угла треугольника.

б) В разностороннем треугольнике средний по величине угол равен 60°. Наибольшая сторона треугольника в пять раз больше наименьшей стороны. Найдите котангенс наименьшего угла треугольника.

а)

Пусть в разностороннем треугольнике углы равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, а длины противолежащих им сторон — $a$, $b$ и $c$ соответственно. В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, поэтому мы можем упорядочить углы и стороны по возрастанию: $\alpha < \beta < \gamma$ и, соответственно, $a < b < c$.

Согласно условию, средний по величине угол равен $60^\circ$, следовательно, $\beta = 60^\circ$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$. Отсюда получаем, что $\alpha + \gamma = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$, и значит $\gamma = 120^\circ - \alpha$.

Также по условию, наименьшая сторона ($a$) в четыре раза короче наибольшей ($c$), что можно записать как $c = 4a$.

Применим теорему синусов, которая гласит: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$.

Используем соотношение для наименьшей и наибольшей сторон: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}$

Подставим в это равенство $c = 4a$: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{4a}{\sin \gamma}$

Поскольку $a$ — это длина стороны треугольника, $a \neq 0$, мы можем сократить обе части на $a$: $\sin \gamma = 4 \sin \alpha$

Теперь заменим $\gamma$ на $120^\circ - \alpha$: $\sin(120^\circ - \alpha) = 4 \sin \alpha$

Воспользуемся формулой синуса разности углов $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$: $\sin 120^\circ \cos \alpha - \cos 120^\circ \sin \alpha = 4 \sin \alpha$

Подставим табличные значения $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$: $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha - (-\frac{1}{2}) \sin \alpha = 4 \sin \alpha$ $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha + \frac{1}{2} \sin \alpha = 4 \sin \alpha$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $\sin \alpha$: $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha = 4 \sin \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha$ $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha = \frac{7}{2} \sin \alpha$

Для того чтобы найти тангенс наименьшего угла ($\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$), разделим обе части уравнения на $\cos \alpha$ (это возможно, так как $\alpha$ — острый угол и $\cos \alpha \neq 0$) и на $\frac{7}{2}$: $\tan \alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{7/2} = \frac{\sqrt{3}}{7}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{7}$.

б)

Действуем аналогично предыдущему пункту. Пусть углы треугольника упорядочены по возрастанию $\alpha < \beta < \gamma$, а противолежащие им стороны — $a < b < c$.

Из условия известно, что средний по величине угол $\beta = 60^\circ$. Тогда сумма двух других углов $\alpha + \gamma = 120^\circ$, откуда $\gamma = 120^\circ - \alpha$.

Наибольшая сторона ($c$) в пять раз больше наименьшей ($a$), то есть $c = 5a$.

Снова используем теорему синусов для наименьшей и наибольшей сторон: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}$

Подставляем $c = 5a$: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{5a}{\sin \gamma}$

Сокращаем на $a$: $\sin \gamma = 5 \sin \alpha$

Заменяем $\gamma$ выражением $120^\circ - \alpha$: $\sin(120^\circ - \alpha) = 5 \sin \alpha$

Применяем формулу синуса разности: $\sin 120^\circ \cos \alpha - \cos 120^\circ \sin \alpha = 5 \sin \alpha$

Подставляем известные значения $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$: $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha - (-\frac{1}{2}) \sin \alpha = 5 \sin \alpha$ $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha + \frac{1}{2} \sin \alpha = 5 \sin \alpha$

Переносим слагаемые с $\sin \alpha$ в одну сторону: $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha = 5 \sin \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha$ $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha = \frac{9}{2} \sin \alpha$

Нам требуется найти котангенс наименьшего угла ($\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$). Для этого разделим обе части уравнения на $\sin \alpha$ ($\sin \alpha \neq 0$, так как $\alpha$ - угол треугольника): $\frac{\sqrt{3}}{2} \cot \alpha = \frac{9}{2}$

Выразим $\cot \alpha$: $\cot \alpha = \frac{9/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{9}{\sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: $\cot \alpha = \frac{9\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$

Ответ: $3\sqrt{3}$.