Номер 17, страница 178 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

17. а) Стороны треугольника равны 6 см, 7 см и 8 см. Найдите синус наибольшего угла треугольника.

б) В треугольнике ABC $\angle B > 90^\circ$, $BC = 2$ см, $AB = 10$ см, $\sin \angle B = 0.6$. Найдите длину стороны $AC$.

а)

Пусть стороны треугольника равны $a = 6$ см, $b = 7$ см и $c = 8$ см. В треугольнике наибольший угол лежит против наибольшей стороны. Следовательно, нам нужно найти синус угла, лежащего напротив стороны длиной 8 см. Обозначим этот угол $\gamma$.

Для нахождения угла воспользуемся теоремой косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$.

Подставим известные значения:

$8^2 = 6^2 + 7^2 - 2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \cos(\gamma)$

$64 = 36 + 49 - 84 \cos(\gamma)$

$64 = 85 - 84 \cos(\gamma)$

Выразим косинус угла $\gamma$:

$84 \cos(\gamma) = 85 - 64$

$84 \cos(\gamma) = 21$

$\cos(\gamma) = \frac{21}{84} = \frac{1}{4}$

Теперь найдем синус угла $\gamma$, используя основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma) = 1$.

$\sin^2(\gamma) = 1 - \cos^2(\gamma)$

$\sin^2(\gamma) = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

Так как угол треугольника может быть от $0^\circ$ до $180^\circ$, его синус всегда положителен. Поэтому:

$\sin(\gamma) = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{4}$

б)

В треугольнике $ABC$ известны две стороны $BC = 2$ см, $AB = 10$ см и синус угла между ними $\sin \angle B = 0,6$. Требуется найти длину третьей стороны $AC$.

Для нахождения стороны $AC$ воспользуемся теоремой косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B$

Сначала найдем $\cos \angle B$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \angle B + \cos^2 \angle B = 1$:

$\cos^2 \angle B = 1 - \sin^2 \angle B = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$

$\cos \angle B = \pm \sqrt{0,64} = \pm 0,8$

По условию, угол $B$ тупой, то есть $\angle B > 90^\circ$. Косинус тупого угла отрицателен, следовательно, $\cos \angle B = -0,8$.

Теперь подставим все значения в формулу теоремы косинусов:

$AC^2 = 10^2 + 2^2 - 2 \cdot 10 \cdot 2 \cdot (-0,8)$

$AC^2 = 100 + 4 - 40 \cdot (-0,8)$

$AC^2 = 104 + 32$

$AC^2 = 136$

Найдем длину стороны $AC$:

$AC = \sqrt{136} = \sqrt{4 \cdot 34} = 2\sqrt{34}$ см.

Ответ: $2\sqrt{34}$ см