Номер 12, страница 176 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

12. a) Найдите диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если радиус окружности, вписанной в него, равен 6, а один из катетов — 20.

б) Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если радиус окружности, вписанной в него, равен 4, а один из отрезков, на которые гипотенуза делится точкой касания с вписанной окружностью, равен 6.

а)

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Из условия задачи известны: радиус вписанной окружности $r = 6$, и длина одного из катетов, пусть $a = 20$.

Для прямоугольного треугольника существует формула, связывающая радиус вписанной окружности с длинами его сторон: $r = \frac{a + b - c}{2}$

Подставим в эту формулу известные значения: $6 = \frac{20 + b - c}{2}$ Умножим обе части на 2: $12 = 20 + b - c$ Выразим разность $c - b$: $c - b = 20 - 12$ $c - b = 8$, откуда можно выразить гипотенузу: $c = b + 8$.

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$ Подставим в нее известные значения $a=20$ и выражение для $c$: $20^2 + b^2 = (b + 8)^2$ $400 + b^2 = b^2 + 16b + 64$ Сократим $b^2$ в обеих частях уравнения и решим его относительно $b$: $400 - 64 = 16b$ $336 = 16b$ $b = \frac{336}{16} = 21$

Теперь, зная оба катета, найдем гипотенузу $c$: $c = b + 8 = 21 + 8 = 29$ Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы, а ее диаметр $D$ равен длине гипотенузы $c$. Таким образом, $D = c = 29$.

Ответ: 29.

б)

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$. Радиус вписанной окружности $r = 4$. Точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на два отрезка. Обозначим их длины как $x$ и $y$. По условию, один из них равен 6, так что пусть $x = 6$. Гипотенуза $c = x + y = 6 + y$.

Согласно свойству касательных, проведенных из одной вершины к окружности, отрезки касательных от вершины до точек касания равны. Это позволяет выразить катеты через радиус вписанной окружности и отрезки $x$ и $y$: $a = y + r$ $b = x + r$

Подставим известные значения $r=4$ и $x=6$: $b = 6 + 4 = 10$ $a = y + 4$ $c = 6 + y$

Применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$ для нашего треугольника: $(y + 4)^2 + 10^2 = (6 + y)^2$ Раскроем скобки: $y^2 + 8y + 16 + 100 = 36 + 12y + y^2$ Упростим уравнение: $y^2 + 8y + 116 = y^2 + 12y + 36$ Сократим $y^2$ и найдем $y$: $116 - 36 = 12y - 8y$ $80 = 4y$ $y = \frac{80}{4} = 20$

Теперь мы можем найти длину гипотенузы $c$: $c = x + y = 6 + 20 = 26$ Радиус $R$ описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине его гипотенузы: $R = \frac{c}{2}$ $R = \frac{26}{2} = 13$

Ответ: 13.