Номер 19, страница 178 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

19. а) В равнобедренном треугольнике боковая сторона в полтора раза больше радиуса описанной около него окружности. Найдите синус угла при основании треугольника.

б) Основание равнобедренного треугольника в полтора раза меньше радиуса описанной около него окружности. Найдите синус угла при вершине треугольника.

а)

Пусть в равнобедренном треугольнике боковая сторона равна $b$, угол при основании равен $\alpha$, а радиус описанной около него окружности равен $R$.

По условию задачи, боковая сторона в полтора раза (то есть в 1.5 раза) больше радиуса описанной окружности. Математически это записывается так: $$ b = 1.5 \cdot R = \frac{3}{2}R $$

Для решения задачи воспользуемся следствием из теоремы синусов, которое гласит, что отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности: $$ \frac{b}{\sin\alpha} = 2R $$

Теперь подставим в эту формулу выражение для $b$ из условия задачи: $$ \frac{\frac{3}{2}R}{\sin\alpha} = 2R $$

Поскольку радиус $R$ не может быть равен нулю, мы можем сократить $R$ в обеих частях уравнения: $$ \frac{3/2}{\sin\alpha} = 2 $$

Отсюда выражаем искомую величину $\sin\alpha$: $$ \sin\alpha = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4} $$

Ответ: $\frac{3}{4}$.

б)

Пусть в равнобедренном треугольнике основание равно $a$, угол при вершине (противолежащий основанию) равен $\beta$, а радиус описанной около него окружности равен $R$.

По условию задачи, основание в полтора раза (в 1.5 раза) меньше радиуса описанной окружности. Это означает: $$ a = \frac{R}{1.5} = \frac{R}{3/2} = \frac{2}{3}R $$

Применим следствие из теоремы синусов для стороны $a$ и противолежащего ей угла $\beta$: $$ \frac{a}{\sin\beta} = 2R $$

Подставим в эту формулу известное нам соотношение для $a$: $$ \frac{\frac{2}{3}R}{\sin\beta} = 2R $$

Выразим из этого уравнения $\sin\beta$, домножив обе части на $\sin\beta$: $$ \frac{2}{3}R = 2R \cdot \sin\beta $$

Теперь разделим обе части на $2R$ (так как $R \neq 0$): $$ \sin\beta = \frac{\frac{2}{3}R}{2R} = \frac{1}{3} $$

Ответ: $\frac{1}{3}$.