Номер 21, страница 178 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

21. а) В треугольнике $ABC$ $AB = BC = 12$ см, $BK$ — высота треугольника. Точка $P$ делит $BK$ в отношении $1 : 2$, считая от вершины $B$. Через точку $P$ проведена прямая, параллельная стороне $BC$. Найдите отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника $ABC$.

б) На высоте $CP$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AC = CB$) взята точка $T$ так, что $PT : PC = 4 : 5$. Через точку $T$ проведена прямая, параллельная стороне $AC$. Найдите отрезок этой прямой, концы которого лежат на сторонах треугольника $ABC$, если $CB = 20$ см.

a)

Пусть прямая, проходящая через точку $P$ параллельно стороне $BC$, пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Требуется найти длину отрезка $MN$.

Поскольку $MN \parallel BC$, по теореме о пропорциональных отрезках, треугольник $AMN$ подобен треугольнику $ABC$. Следовательно, отношение их сторон равно коэффициенту подобия $k$: $$ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} = k $$ Мы знаем, что $BC = 12$ см. Чтобы найти $MN$, нам нужно определить коэффициент подобия $k = \frac{AM}{AB}$.

Для нахождения отношения $\frac{AM}{AB}$ воспользуемся теоремой Менелая для треугольника $ABK$ и секущей $MPN$. Точки $M$, $P$, $N$ лежат на одной прямой. Эта прямая пересекает сторону $AB$ в точке $M$, сторону $BK$ в точке $P$ и продолжение стороны $AK$ в точке $N$.

По теореме Менелая: $$ \frac{AM}{MB} \cdot \frac{BP}{PK} \cdot \frac{KN}{NA} = 1 $$

Найдем значения отношений в этой формуле:
1. Из условия задачи, точка $P$ делит высоту $BK$ в отношении $1:2$, считая от вершины $B$. Таким образом, $\frac{BP}{PK} = \frac{1}{2}$.
2. Найдем отношение $\frac{KN}{NA}$. В треугольнике $ABC$ высота $BK$, проведенная к основанию $AC$, является также и медианой, поэтому $AK=KC$. Рассмотрим треугольник $KBC$. Отрезок $PN$ (часть прямой $MN$) параллелен стороне $BC$. Точка $P$ лежит на $BK$, а точка $N$ лежит на $KC$ (продолжении стороны $AC$ за точку $K$). Следовательно, треугольник $KPN$ подобен треугольнику $KBC$. Из подобия следует: $$ \frac{KN}{KC} = \frac{KP}{KB} $$ Из отношения $\frac{BP}{PK} = \frac{1}{2}$ следует, что $PK = 2BP$. Тогда вся высота $KB = BP + PK = BP + 2BP = 3BP$. Отношение $\frac{KP}{KB} = \frac{2BP}{3BP} = \frac{2}{3}$. Значит, $\frac{KN}{KC} = \frac{2}{3}$, откуда $KN = \frac{2}{3}KC$. Поскольку $AK=KC$, то $NA = AK + KN = KC + \frac{2}{3}KC = \frac{5}{3}KC$. Теперь мы можем найти отношение $\frac{KN}{NA}$: $$ \frac{KN}{NA} = \frac{\frac{2}{3}KC}{\frac{5}{3}KC} = \frac{2}{5} $$

Подставим найденные значения в формулу Менелая: $$ \frac{AM}{MB} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = 1 $$ $$ \frac{AM}{MB} \cdot \frac{1}{5} = 1 \implies \frac{AM}{MB} = 5 $$ Это означает, что $AM = 5MB$. Тогда вся сторона $AB = AM + MB = 5MB + MB = 6MB$. Коэффициент подобия $k$ равен: $$ k = \frac{AM}{AB} = \frac{5MB}{6MB} = \frac{5}{6} $$

Наконец, найдем длину отрезка $MN$: $$ MN = k \cdot BC = \frac{5}{6} \cdot 12 = 10 \text{ см} $$

Ответ: 10 см.

б)

Для решения этой задачи введем систему координат. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$, высота $CP$ является и медианой. Пусть точка $P$ — середина основания $AB$ — будет началом координат $P(0,0)$. Тогда основание $AB$ лежит на оси $Ox$, а высота $CP$ — на оси $Oy$.

Пусть координаты вершин будут следующими: $P(0,0)$, $C(0,h)$, $A(-a,0)$, $B(a,0)$, где $h=CP$ и $a=AP=PB$. Из условия $AC = CB = 20$ см. Используя формулу расстояния для отрезка $AC$: $$ AC^2 = (-a - 0)^2 + (0 - h)^2 = a^2 + h^2 $$ Получаем уравнение: $a^2 + h^2 = 20^2 = 400$.

Точка $T$ лежит на высоте $CP$ (оси $Oy$) и делит ее так, что $PT:PC=4:5$. Это означает $\frac{PT}{PC} = \frac{4}{5}$. Длина высоты $PC$ равна $h$. Длина отрезка $PT$ равна $\frac{4}{5}h$. Поскольку $P$ — начало координат, координаты точки $T$ будут $T(0, \frac{4}{5}h)$.

Через точку $T$ проведена прямая, параллельная стороне $AC$. Найдем уравнение этой прямой. Сначала найдем угловой коэффициент (slope) прямой $AC$, проходящей через точки $A(-a,0)$ и $C(0,h)$: $$ m_{AC} = \frac{h-0}{0-(-a)} = \frac{h}{a} $$ Искомая прямая параллельна $AC$, значит, имеет тот же угловой коэффициент $m = \frac{h}{a}$. Уравнение прямой, проходящей через точку $T(0, \frac{4}{5}h)$ с коэффициентом $m=\frac{h}{a}$: $$ y - \frac{4}{5}h = \frac{h}{a}x \implies y = \frac{h}{a}x + \frac{4}{5}h $$

Найдем отрезок этой прямой, концы которого лежат на сторонах $AB$ и $BC$.
1. Пересечение с прямой $AB$ (ось $Ox$, где $y=0$). Пусть это точка $M$. $$ 0 = \frac{h}{a}x_M + \frac{4}{5}h \implies \frac{h}{a}x_M = -\frac{4}{5}h \implies x_M = -\frac{4}{5}a $$ Координаты точки $M(-\frac{4}{5}a, 0)$.
2. Пересечение с прямой $BC$. Прямая $BC$ проходит через точки $B(a,0)$ и $C(0,h)$. Ее уравнение: $y - 0 = \frac{h-0}{0-a}(x-a) \implies y = -\frac{h}{a}(x-a)$. Приравняем уравнения прямой $BC$ и нашей прямой, чтобы найти точку пересечения $N$: $$ \frac{h}{a}x_N + \frac{4}{5}h = -\frac{h}{a}(x_N-a) $$ Разделим обе части на $h$ (так как $h \ne 0$): $$ \frac{1}{a}x_N + \frac{4}{5} = -\frac{1}{a}x_N + 1 $$ $$ \frac{2}{a}x_N = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} $$ $$ x_N = \frac{a}{10} $$ Найдем $y_N$: $y_N = -\frac{h}{a}(\frac{a}{10}-a) = -\frac{h}{a}(-\frac{9a}{10}) = \frac{9h}{10}$. Координаты точки $N(\frac{a}{10}, \frac{9h}{10})$.

Теперь найдем длину отрезка $MN$ по формуле расстояния между точками $M(-\frac{4}{5}a, 0)$ и $N(\frac{a}{10}, \frac{9h}{10})$: $$ MN^2 = (x_N-x_M)^2 + (y_N-y_M)^2 = \left(\frac{a}{10} - \left(-\frac{4a}{5}\right)\right)^2 + \left(\frac{9h}{10}-0\right)^2 $$ $$ MN^2 = \left(\frac{a}{10} + \frac{8a}{10}\right)^2 + \left(\frac{9h}{10}\right)^2 = \left(\frac{9a}{10}\right)^2 + \left(\frac{9h}{10}\right)^2 $$ $$ MN^2 = \frac{81a^2}{100} + \frac{81h^2}{100} = \frac{81}{100}(a^2+h^2) $$ Мы знаем, что $a^2+h^2=400$. Подставим это значение: $$ MN^2 = \frac{81}{100}(400) = 81 \cdot 4 = 324 $$ $$ MN = \sqrt{324} = 18 \text{ см} $$

Ответ: 18 см.