Номер 25, страница 179 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

25. a) В треугольнике $ABC$ точка $P$ лежит на стороне $AC$, а точка $E$ — на стороне $AB$. Известно, что $AP = 2PC$ и $AE = 3BE$. Найдите отношение площадей треугольников $ABC$ и $BPE$.

б) В треугольнике $ABC$ точка $P$ — середина стороны $AC$, а точка $E$ лежит на стороне $AB$ так, что $2AE = 3BE$. Найдите отношение площадей треугольников $ABC$ и $BPE$.

Площадь треугольника можно выразить через две стороны и синус угла между ними по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $APE$. У них общий угол $A$. Поэтому отношение их площадей равно $\frac{S_{APE}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} AE \cdot AP \cdot \sin(\angle A)}{\frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)} = \frac{AE}{AB} \cdot \frac{AP}{AC}$.

Найдем отношения сторон из условий задачи. Из условия $AE = 3BE$ следует, что $AB = AE + BE = 3BE + BE = 4BE$. Тогда $\frac{AE}{AB} = \frac{3BE}{4BE} = \frac{3}{4}$. Из условия $AP = 2PC$ следует, что $AC = AP + PC = 2PC + PC = 3PC$. Тогда $\frac{AP}{AC} = \frac{2PC}{3PC} = \frac{2}{3}$.

Подставим эти значения в формулу для отношения площадей: $\frac{S_{APE}}{S_{ABC}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$. Отсюда $S_{APE} = \frac{1}{2} S_{ABC}$.

Теперь рассмотрим треугольники $BPE$ и $APE$. У них общая высота, проведенная из вершины $P$ к прямой $AB$, на которой лежат их основания $BE$ и $AE$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований: $\frac{S_{BPE}}{S_{APE}} = \frac{BE}{AE}$.

Из условия $AE = 3BE$ имеем $\frac{BE}{AE} = \frac{1}{3}$. Значит, $\frac{S_{BPE}}{S_{APE}} = \frac{1}{3}$, или $S_{BPE} = \frac{1}{3} S_{APE}$.

Теперь мы можем связать площади треугольников $ABC$ и $BPE$: $S_{BPE} = \frac{1}{3} S_{APE} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} S_{ABC}) = \frac{1}{6} S_{ABC}$.

Таким образом, искомое отношение площадей $\frac{S_{ABC}}{S_{BPE}} = 6$.

Ответ: 6

Решение этого пункта аналогично предыдущему. Используем ту же логику для нахождения отношения площадей.

Отношение площадей треугольников $APE$ и $ABC$, имеющих общий угол $A$, выражается как $\frac{S_{APE}}{S_{ABC}} = \frac{AE}{AB} \cdot \frac{AP}{AC}$.

Найдем отношения сторон из условий этого пункта. По условию точка $P$ — середина стороны $AC$, значит $AP = PC$ и $AC = AP + PC = 2AP$. Тогда $\frac{AP}{AC} = \frac{AP}{2AP} = \frac{1}{2}$.

Из условия $2AE = 3BE$ следует, что $\frac{AE}{BE} = \frac{3}{2}$. Если принять $AE = 3x$ и $BE = 2x$, то $AB = AE + BE = 3x + 2x = 5x$. Тогда $\frac{AE}{AB} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$.

Подставляем найденные отношения в формулу: $\frac{S_{APE}}{S_{ABC}} = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$. Отсюда $S_{APE} = \frac{3}{10} S_{ABC}$.

Далее, как и в пункте а), находим отношение площадей треугольников $BPE$ и $APE$. У них общая высота из вершины $P$ к прямой $AB$, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований: $\frac{S_{BPE}}{S_{APE}} = \frac{BE}{AE}$.

Из условия $2AE = 3BE$ имеем $\frac{BE}{AE} = \frac{2}{3}$. Значит, $\frac{S_{BPE}}{S_{APE}} = \frac{2}{3}$, откуда $S_{BPE} = \frac{2}{3} S_{APE}$.

Теперь выразим $S_{BPE}$ через $S_{ABC}$: $S_{BPE} = \frac{2}{3} S_{APE} = \frac{2}{3} \cdot (\frac{3}{10} S_{ABC}) = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 10} S_{ABC} = \frac{2}{10} S_{ABC} = \frac{1}{5} S_{ABC}$.

Следовательно, искомое отношение площадей $\frac{S_{ABC}}{S_{BPE}} = 5$.

Ответ: 5