Номер 23, страница 179 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

23. a) Площади двух подобных прямоугольных треугольников равны $ \frac{25\sqrt{3}}{2} $ и $ \frac{225\sqrt{3}}{8} $. Найдите гипотенузу большего треугольника, если один из катетов меньшего треугольника равен $ 5\sqrt{3} $.

б) Отношение площадей двух подобных прямоугольных треугольников равно $ 2 : 9 $. Найдите гипотенузу большего треугольника, если катеты меньшего треугольника равны $ 4\sqrt{2} $ и $ 3\sqrt{2} $.

а)

Пусть $S_{меньш}$ и $S_{больш}$ — площади меньшего и большего подобных прямоугольных треугольников соответственно. Из условия известно, что $S_{меньш} = \frac{25\sqrt{3}}{2}$ и $S_{больш} = \frac{225\sqrt{3}}{8}$.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия $k$. Коэффициент подобия — это отношение длин соответственных сторон (в данном случае, отношение стороны большего треугольника к стороне меньшего).

Найдем квадрат коэффициента подобия: $k^2 = \frac{S_{больш}}{S_{меньш}} = \frac{\frac{225\sqrt{3}}{8}}{\frac{25\sqrt{3}}{2}} = \frac{225\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{2}{25\sqrt{3}} = \frac{225 \cdot 2}{8 \cdot 25} = \frac{9 \cdot 1}{4 \cdot 1} = \frac{9}{4}$.

Тогда коэффициент подобия $k = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.

Теперь найдем стороны меньшего треугольника. Пусть его катеты равны $a_1$ и $b_1$. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$. По условию, один из катетов меньшего треугольника равен $5\sqrt{3}$. Пусть $a_1 = 5\sqrt{3}$.

$S_{меньш} = \frac{1}{2} a_1 b_1 \implies \frac{25\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{3} \cdot b_1$.

Умножим обе части на 2 и разделим на $5\sqrt{3}$: $25\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \cdot b_1 \implies b_1 = \frac{25\sqrt{3}}{5\sqrt{3}} = 5$.

Теперь, зная оба катета меньшего треугольника ($a_1 = 5\sqrt{3}$ и $b_1 = 5$), найдем его гипотенузу $c_1$ по теореме Пифагора: $c_1^2 = a_1^2 + b_1^2 = (5\sqrt{3})^2 + 5^2 = 25 \cdot 3 + 25 = 75 + 25 = 100$.

$c_1 = \sqrt{100} = 10$.

Гипотенуза большего треугольника $c_2$ равна произведению гипотенузы меньшего треугольника $c_1$ и коэффициента подобия $k$: $c_2 = c_1 \cdot k = 10 \cdot \frac{3}{2} = 15$.

Ответ: 15.

б)

Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади меньшего и большего подобных прямоугольных треугольников. По условию, их отношение $\frac{S_1}{S_2} = \frac{2}{9}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$, где $k$ — отношение стороны большего треугольника к соответствующей стороне меньшего.

$k^2 = \frac{S_2}{S_1} = \frac{9}{2}$.

Отсюда коэффициент подобия $k = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Катеты меньшего треугольника равны $a_1 = 4\sqrt{2}$ и $b_1 = 3\sqrt{2}$. Найдем его гипотенузу $c_1$ по теореме Пифагора: $c_1^2 = a_1^2 + b_1^2 = (4\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 = (16 \cdot 2) + (9 \cdot 2) = 32 + 18 = 50$.

$c_1 = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.

Гипотенуза большего треугольника $c_2$ связана с гипотенузой меньшего $c_1$ через коэффициент подобия $k$: $c_2 = c_1 \cdot k = 5\sqrt{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{5 \cdot 3 \cdot (\sqrt{2})^2}{2} = \frac{15 \cdot 2}{2} = 15$.

Ответ: 15.