Номер 29, страница 181 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

29. a) Треугольник $ABC$, площадь которого равна 60, разделен на четыре равные по площади части тремя отрезками, параллельными стороне $AB$. Найдите расстояние от вершины $C$ до отрезка наименьшей длины, если $AB = 10$.

б) Треугольник $ABC$, площадь которого равна 80, разделен на четыре равные по площади части тремя отрезками, параллельными стороне $AC$. Высота треугольника, проведенная к стороне $AC$, равна 10. Найдите длину наименьшего из проведенных трех отрезков.

а)

Пусть $S_{ABC}$ - площадь треугольника $ABC$, $H$ - его высота, проведенная из вершины $C$ к стороне $AB$. По условию, $S_{ABC} = 60$ и $AB = 10$. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ - основание, а $h$ - высота. $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot H$. Подставим известные значения: $60 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot H$ $60 = 5H$ $H = \frac{60}{5} = 12$.

Треугольник разделен на четыре равные по площади части тремя отрезками, параллельными стороне $AB$. Площадь каждой части равна $S_{часть} = \frac{S_{ABC}}{4} = \frac{60}{4} = 15$.

Пусть $A_1B_1$ - отрезок, ближайший к вершине $C$. Этот отрезок является наименьшим по длине. Он отсекает от треугольника $ABC$ меньший треугольник $CA_1B_1$. Этот треугольник и есть первая из четырех частей, считая от вершины $C$. Следовательно, площадь треугольника $CA_1B_1$ равна $S_{CA_1B_1} = 15$.

Треугольник $CA_1B_1$ подобен треугольнику $ABC$, так как $A_1B_1 \parallel AB$. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, который, в свою очередь, равен отношению их соответствующих высот. Пусть $h_1$ - высота треугольника $CA_1B_1$, проведенная из вершины $C$ к стороне $A_1B_1$. Эта высота и есть искомое расстояние от вершины $C$ до отрезка наименьшей длины.

Запишем соотношение для площадей и высот: $\frac{S_{CA_1B_1}}{S_{ABC}} = \left(\frac{h_1}{H}\right)^2$ Подставим известные значения: $\frac{15}{60} = \left(\frac{h_1}{12}\right)^2$ $\frac{1}{4} = \left(\frac{h_1}{12}\right)^2$ Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{h_1}{12}$ $\frac{1}{2} = \frac{h_1}{12}$ Отсюда находим $h_1$: $h_1 = \frac{12}{2} = 6$.

Ответ: 6.

б)

Пусть $S_{ABC}$ - площадь треугольника $ABC$, $H_B$ - его высота, проведенная из вершины $B$ к стороне $AC$. По условию, $S_{ABC} = 80$ и $H_B = 10$. Найдем длину стороны $AC$ из формулы площади треугольника: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot H_B$ $80 = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot 10$ $80 = 5 \cdot AC$ $AC = \frac{80}{5} = 16$.

Треугольник разделен на четыре равные по площади части тремя отрезками, параллельными стороне $AC$. Площадь каждой части равна $S_{часть} = \frac{S_{ABC}}{4} = \frac{80}{4} = 20$.

Пусть $A_1C_1$ - отрезок, ближайший к вершине $B$ (противолежащей стороне $AC$). Этот отрезок является наименьшим по длине из трех проведенных. Он отсекает от треугольника $ABC$ меньший треугольник $BA_1C_1$. Этот треугольник является первой из четырех частей, считая от вершины $B$. Следовательно, площадь треугольника $BA_1C_1$ равна $S_{BA_1C_1} = 20$.

Треугольник $BA_1C_1$ подобен треугольнику $BAC$, так как $A_1C_1 \parallel AC$. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, который равен отношению их соответствующих сторон.

Запишем соотношение для площадей и оснований: $\frac{S_{BA_1C_1}}{S_{ABC}} = \left(\frac{A_1C_1}{AC}\right)^2$ Подставим известные значения: $\frac{20}{80} = \left(\frac{A_1C_1}{16}\right)^2$ $\frac{1}{4} = \left(\frac{A_1C_1}{16}\right)^2$ Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{A_1C_1}{16}$ $\frac{1}{2} = \frac{A_1C_1}{16}$ Отсюда находим длину отрезка $A_1C_1$: $A_1C_1 = \frac{16}{2} = 8$.

Ответ: 8.