Номер 33, страница 182 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

33*. Докажите, что если длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию, то отрезок прямой, соединяющий точку пересечения медиан с центром вписанной в треугольник окружности, параллелен средней по длине стороне.

33*.

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $a, b, c$, противолежащими вершинам $A, B, C$ соответственно. По условию, длины сторон образуют арифметическую прогрессию. Обозначим сторону средней длины через $b$, то есть это сторона $AC$. Тогда для длин сторон $a, b, c$ выполняется соотношение $a+c=2b$. Нам необходимо доказать, что отрезок $MI$, соединяющий точку пересечения медиан (центроид) $M$ и центр вписанной окружности (инцентр) $I$, параллелен стороне $AC$.

Воспользуемся векторным методом. Параллельность отрезка $MI$ и стороны $AC$ равносильна коллинеарности векторов $\vec{MI}$ и $\vec{AC}$, то есть существованию такого скаляра $k$, что $\vec{MI} = k \cdot \vec{AC}$.

Положение центроида $M$ и инцентра $I$ можно выразить через радиус-векторы вершин треугольника $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$, отложенные от произвольного начала координат.

Радиус-вектор центроида $M$ (точки пересечения медиан) определяется формулой:

Радиус-вектор инцентра $I$ (центра вписанной окружности) определяется формулой:

Теперь найдем вектор $\vec{MI}$, соединяющий центроид и инцентр:

Приведем дроби к общему знаменателю $3(a+b+c)$:

Сгруппируем слагаемые при векторах $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$ в числителе:

Теперь используем условие задачи: длины сторон образуют арифметическую прогрессию, и $b$ — средняя по длине сторона. Это означает, что $a+c=2b$.

Подставим это соотношение в коэффициенты при векторах в выражении для $\vec{MI}$:

• Коэффициент при $\vec{B}$: $2b - a - c = 2b - (a+c) = 2b - 2b = 0$.
• Коэффициент при $\vec{A}$: $2a - b - c$. Из $a+c=2b$ выразим $c=2b-a$. Тогда $2a - b - (2b-a) = 3a - 3b = 3(a-b)$.
• Коэффициент при $\vec{C}$: $2c - a - b$. Из $a+c=2b$ выразим $a=2b-c$. Тогда $2c - (2b-c) - b = 3c - 3b = 3(c-b)$.

Подставим найденные коэффициенты обратно в выражение для $\vec{MI}$:

Из условия $a+c=2b$ также следует, что $a-b = -(c-b)$. Подставим $c-b = -(a-b)$ в числитель:

Вектор стороны $AC$ равен $\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A}$. Следовательно, $\vec{A} - \vec{C} = -(\vec{C} - \vec{A}) = -\vec{AC}$.

Мы получили, что $\vec{MI} = k \cdot \vec{AC}$, где $k = \frac{b-a}{a+b+c}$ — это скалярный коэффициент. Это по определению означает, что вектор $\vec{MI}$ коллинеарен вектору $\vec{AC}$, и, следовательно, прямая $MI$ параллельна прямой $AC$.

Таким образом, доказано, что если длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию, то отрезок прямой, соединяющий точку пересечения медиан с центром вписанной в треугольник окружности, параллелен средней по длине стороне. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Отрезок, соединяющий центроид и инцентр, параллелен средней по длине стороне, так как вектор $\vec{MI}$, соединяющий эти точки, коллинеарен вектору $\vec{AC}$, представляющему среднюю по длине сторону: $\vec{MI} = \frac{b-a}{a+b+c}\vec{AC}$.