Номер 37, страница 182 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

37*. a) Четырехугольник $ABCK$ такой, что около него можно описать и в него можно вписать окружности. Разность длин сторон $AK$ и $BC$ равна разности длин сторон $AB$ и $CK$. Докажите, что диагональ $AC$ — диаметр описанной окружности.

б) Около четырехугольника $ABCE$ описана окружность. Продолжения хорды $AB$ за точку $B$ и хорды $CE$ за точку $C$ пересекаются в точке $P$, причем угол $\angle APE = 60^\circ$. Угол $\angle ABE$ в три раза больше угла $\angle BAC$. Докажите, что $AE$ — диаметр окружности.

а)

Пусть дан четырехугольник $ABCK$. По условию, он является вписанным в окружность и описанным около окружности (бицентрическим).

1. Свойство описанного четырехугольника: суммы длин противоположных сторон равны. Для четырехугольника $ABCK$ это означает:

$AB + CK = BC + AK$

Перенеся члены, получим: $AB - BC = AK - CK$.

2. По условию задачи, разность длин сторон $AK$ и $BC$ равна разности длин сторон $AB$ и $CK$. Запишем это в виде уравнения:

$AK - BC = AB - CK$

Перенеся члены, получим: $AK + CK = AB + BC$.

3. Мы получили систему из двух линейных уравнений относительно длин сторон четырехугольника:

$\begin{cases} AK - CK = AB - BC & (1) \\ AK + CK = AB + BC & (2) \end{cases}$

Сложим уравнения (1) и (2):

$(AK - CK) + (AK + CK) = (AB - BC) + (AB + BC)$

$2 \cdot AK = 2 \cdot AB$

$AK = AB$

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$(AK + CK) - (AK - CK) = (AB + BC) - (AB - BC)$

$2 \cdot CK = 2 \cdot BC$

$CK = BC$

4. Таким образом, мы доказали, что в данном четырехугольнике смежные стороны попарно равны: $AB = AK$ и $BC = CK$. Четырехугольник с таким свойством является дельтоидом (кайтом). Диагональ $AC$ соединяет вершины между равными сторонами, следовательно, является осью симметрии дельтоида. Это означает, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle AKC$ равны по трем сторонам ($AB=AK$, $BC=CK$, $AC$ — общая сторона). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle ABC = \angle AKC$.

5. Свойство вписанного четырехугольника: сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Для $ABCK$ имеем:

$\angle ABC + \angle AKC = 180^\circ$

Так как мы установили, что $\angle ABC = \angle AKC$, мы можем подставить это в равенство:

$\angle ABC + \angle ABC = 180^\circ$

$2 \cdot \angle ABC = 180^\circ$

$\angle ABC = 90^\circ$

6. Угол $\angle ABC$ является вписанным в описанную окружность и опирается на дугу $AKC$. Так как этот угол равен $90^\circ$, то он опирается на полуокружность. Хорда, на которую он опирается, то есть диагональ $AC$, является диаметром этой окружности. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б)

1. По условию, четырехугольник $ABCE$ вписан в окружность. Продолжения хорд $AB$ и $CE$ пересекаются в точке $P$. Это означает, что точка $P$ лежит вне окружности, а прямые $PA$ и $PE$ являются секущими. При этом точки на секущих располагаются в порядке $P-B-A$ и $P-C-E$. Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности величин высекаемых ими дуг.

$\angle APE = \frac{1}{2}(\text{дуга } AE - \text{дуга } BC)$

По условию $\angle APE = 60^\circ$, следовательно:

$60^\circ = \frac{1}{2}(\text{дуга } AE - \text{дуга } BC)$

$\text{дуга } AE - \text{дуга } BC = 120^\circ$

2. Углы $\angle ABE$ и $\angle BAC$ являются вписанными углами, так как их вершины лежат на окружности, а стороны являются хордами. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.

Угол $\angle BAC$ опирается на дугу $BC$. Следовательно, $\text{дуга } BC = 2 \cdot \angle BAC$.

Угол $\angle ABE$ опирается на дугу $AE$. Следовательно, $\text{дуга } AE = 2 \cdot \angle ABE$.

3. Обозначим величину угла $\angle BAC$ как $\alpha$. Тогда, по условию, $\angle ABE = 3\alpha$.

Выразим величины дуг через $\alpha$:

$\text{дуга } BC = 2\alpha$

$\text{дуга } AE = 2 \cdot (3\alpha) = 6\alpha$

4. Подставим эти выражения в уравнение, полученное в пункте 1:

$6\alpha - 2\alpha = 120^\circ$

$4\alpha = 120^\circ$

$\alpha = 30^\circ$

5. Теперь найдем величину дуги $AE$:

$\text{дуга } AE = 6\alpha = 6 \cdot 30^\circ = 180^\circ$

6. Дуга, равная $180^\circ$, является полуокружностью. Хорда, стягивающая такую дугу, является диаметром окружности. Следовательно, хорда $AE$ — диаметр окружности. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.