Номер 41, страница 183 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

41. а) Стороны параллелограмма равны $7\sqrt{2}$ и $5\sqrt{2}$. Острый угол параллелограмма равен меньшему углу между его диагоналями. Найдите большую диагональ параллелограмма.

б) Стороны параллелограмма равны $7\sqrt{2}$ и $6\sqrt{2}$. Острый угол параллелограмма равен меньшему углу между его диагоналями. Найдите сумму длин диагоналей параллелограмма.

а) Пусть стороны параллелограмма равны $a = 7\sqrt{2}$ и $b = 5\sqrt{2}$. Пусть $d_1$ и $d_2$ — его диагонали, а $\alpha$ — острый угол параллелограмма. Угол между диагоналями обозначим как $\phi$. По условию, $\alpha$ равен меньшему углу между диагоналями, то есть $\alpha = \phi$.

Площадь параллелограмма можно найти двумя способами:
1. Через стороны и угол между ними: $S = ab \sin(\alpha)$.
2. Через диагонали и угол между ними: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\phi)$.

Поскольку $\alpha = \phi$ и $\alpha$ — острый угол (значит, $\sin(\alpha) > 0$), мы можем приравнять правые части формул, предварительно сократив на $\sin(\alpha)$:
$ab = \frac{1}{2} d_1 d_2$
$d_1 d_2 = 2ab$

Также для любого параллелограмма справедливо тождество, связывающее стороны и диагонали:
$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

Подставим числовые значения сторон:
$a = 7\sqrt{2} \implies a^2 = 49 \cdot 2 = 98$
$b = 5\sqrt{2} \implies b^2 = 25 \cdot 2 = 50$
$ab = (7\sqrt{2})(5\sqrt{2}) = 35 \cdot 2 = 70$

Получим систему уравнений для нахождения диагоналей:
$\begin{cases} d_1 d_2 = 2 \cdot 70 = 140 \\ d_1^2 + d_2^2 = 2(98 + 50) = 2 \cdot 148 = 296 \end{cases}$

Мы можем найти сумму и разность диагоналей. Пусть $d_2$ — большая диагональ.
$(d_1 + d_2)^2 = d_1^2 + d_2^2 + 2d_1 d_2 = 296 + 2 \cdot 140 = 296 + 280 = 576$.
Отсюда $d_1 + d_2 = \sqrt{576} = 24$.
$(d_2 - d_1)^2 = d_1^2 + d_2^2 - 2d_1 d_2 = 296 - 2 \cdot 140 = 296 - 280 = 16$.
Отсюда $d_2 - d_1 = \sqrt{16} = 4$.

Теперь решим систему линейных уравнений:
$\begin{cases} d_1 + d_2 = 24 \\ d_2 - d_1 = 4 \end{cases}$
Сложив два уравнения, получим: $2d_2 = 28 \implies d_2 = 14$.
Большая диагональ равна 14.
Ответ: 14

б) Пусть стороны параллелограмма равны $a = 7\sqrt{2}$ и $b = 6\sqrt{2}$. Как и в предыдущем пункте, из условия, что острый угол параллелограмма ($\alpha$) равен меньшему углу между его диагоналями ($\phi$), следуют соотношения:
$d_1 d_2 = 2ab$
$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

Требуется найти сумму длин диагоналей $d_1 + d_2$. Воспользуемся формулой квадрата суммы:
$(d_1 + d_2)^2 = d_1^2 + d_2^2 + 2d_1 d_2$

Подставим в нее выведенные ранее соотношения:
$(d_1 + d_2)^2 = 2(a^2 + b^2) + 2(2ab) = 2a^2 + 2b^2 + 4ab = 2(a^2 + 2ab + b^2)$

Так как $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$, получаем:
$(d_1 + d_2)^2 = 2(a+b)^2$

Извлекая квадратный корень (длины положительны), находим:
$d_1 + d_2 = \sqrt{2(a+b)^2} = \sqrt{2}(a+b)$

Теперь подставим значения сторон $a = 7\sqrt{2}$ и $b = 6\sqrt{2}$:
$a+b = 7\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = (7+6)\sqrt{2} = 13\sqrt{2}$

Вычислим сумму длин диагоналей:
$d_1 + d_2 = \sqrt{2} \cdot (13\sqrt{2}) = 13 \cdot (\sqrt{2})^2 = 13 \cdot 2 = 26$.
Ответ: 26