Номер 45, страница 184 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

45. a) Найдите сторону ромба, если его площадь равна 32, а один из углов равен $150^\circ$.

б) Найдите периметр ромба, если один из его углов равен $45^\circ$, а площадь равна $18\sqrt{2}$.

а)

Площадь ромба ($S$) можно вычислить по формуле, связывающей сторону ромба ($a$) и угол между сторонами ($\alpha$):

$S = a^2 \cdot \sin(\alpha)$

По условию задачи, площадь $S = 32$, а один из углов $\alpha = 150^\circ$. Подставим эти значения в формулу:

$32 = a^2 \cdot \sin(150^\circ)$

Найдем значение синуса угла $150^\circ$. Используя формулу приведения, получаем:

$\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

$32 = a^2 \cdot \frac{1}{2}$

Чтобы найти $a^2$, умножим обе части уравнения на 2:

$a^2 = 32 \cdot 2$

$a^2 = 64$

Теперь найдем длину стороны $a$, извлекая квадратный корень:

$a = \sqrt{64} = 8$

Ответ: 8.

б)

Периметр ромба ($P$) вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ — длина его стороны. Чтобы найти периметр, нам сначала нужно определить длину стороны ромба.

Воспользуемся той же формулой для площади ромба: $S = a^2 \cdot \sin(\alpha)$.

Из условия известно, что площадь $S = 18\sqrt{2}$, а угол $\alpha = 45^\circ$. Подставим эти значения:

$18\sqrt{2} = a^2 \cdot \sin(45^\circ)$

Значение синуса угла $45^\circ$ является табличным:

$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим это значение в наше уравнение:

$18\sqrt{2} = a^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Выразим $a^2$. Для этого разделим обе части уравнения на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (что эквивалентно умножению на $\frac{2}{\sqrt{2}}$):

$a^2 = \frac{18\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 18\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}$

Сократив $\sqrt{2}$, получаем:

$a^2 = 18 \cdot 2 = 36$

Найдем сторону $a$:

$a = \sqrt{36} = 6$

Теперь, когда мы знаем сторону ромба, можем найти его периметр:

$P = 4a = 4 \cdot 6 = 24$

Ответ: 24.