Номер 49, страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

49. а) Окружность, вписанная в ромб, точкой касания делит его сторону в отношении 1 : 4. Найдите синус угла ромба.

б) В ромб, синус угла которого равен 0,6, вписана окружность. Найдите, в каком отношении точка касания делит сторону ромба.

а)

Пусть дан ромб со стороной $a$, острым углом $\alpha$ и вписанной в него окружностью радиуса $r$. Высота ромба $h$ равна диаметру вписанной окружности, то есть $h=2r$. Синус угла ромба можно найти по формуле $\sin\alpha = \frac{h}{a} = \frac{2r}{a}$.

Пусть $K$ — точка касания вписанной окружности со стороной ромба $AB$. По условию, точка $K$ делит сторону в отношении $1:4$. Обозначим отрезки $AK=x$ и $KB=4x$. Тогда вся сторона ромба $a = AK+KB = x+4x = 5x$.

Центр вписанной в ромб окружности $O$ лежит на пересечении его диагоналей. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому треугольник $AOB$ является прямоугольным. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, значит $OK \perp AB$. Таким образом, $OK$ — это высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе $AB$ в треугольнике $AOB$.

Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. В нашем случае отрезки $AK$ и $KB$ являются этими проекциями. Следовательно, $OK^2 = AK \cdot KB$.

Подставим известные значения. Так как $OK=r$, получаем: $r^2 = x \cdot 4x = 4x^2$, откуда $r=2x$.

Теперь найдем высоту ромба: $h = 2r = 2(2x) = 4x$.

Наконец, вычислим синус угла ромба: $\sin\alpha = \frac{h}{a} = \frac{4x}{5x} = \frac{4}{5} = 0,8$.

Ответ: 0,8.

б)

В данной задаче нам известен синус угла ромба $\sin\alpha = 0,6$ и нужно найти отношение, в котором точка касания делит сторону.

Пусть сторона ромба равна $a$, а радиус вписанной окружности — $r$. Воспользуемся той же связью между синусом угла, стороной и радиусом: $\sin\alpha = \frac{h}{a} = \frac{2r}{a}$.

Подставим известное значение синуса: $0,6 = \frac{2r}{a}$, или $\frac{3}{5} = \frac{2r}{a}$. Выразим радиус через сторону: $10r = 3a$, откуда $r = \frac{3}{10}a$.

Пусть точка касания делит сторону ромба на отрезки $z_1$ и $z_2$. Тогда их сумма равна стороне ромба: $z_1 + z_2 = a$.

Как было показано в пункте а), произведение этих отрезков равно квадрату радиуса вписанной окружности: $z_1 \cdot z_2 = r^2$. Подставим сюда выражение для $r$: $z_1 \cdot z_2 = \left(\frac{3a}{10}\right)^2 = \frac{9a^2}{100}$.

Теперь у нас есть система уравнений для нахождения $z_1$ и $z_2$: $z_1 + z_2 = a$ $z_1 \cdot z_2 = \frac{9a^2}{100}$

Согласно теореме Виета, $z_1$ и $z_2$ являются корнями квадратного уравнения: $z^2 - az + \frac{9a^2}{100} = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант $D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{9a^2}{100} = a^2 - \frac{36a^2}{100} = \frac{64a^2}{100}$. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \frac{8a}{10} = \frac{4a}{5}$.

Находим корни уравнения: $z_1 = \frac{a + \frac{4a}{5}}{2} = \frac{\frac{9a}{5}}{2} = \frac{9a}{10}$ $z_2 = \frac{a - \frac{4a}{5}}{2} = \frac{\frac{a}{5}}{2} = \frac{a}{10}$

Таким образом, точка касания делит сторону на отрезки длиной $\frac{a}{10}$ и $\frac{9a}{10}$. Их отношение равно $\frac{a/10}{9a/10} = \frac{1}{9}$.

Ответ: 1:9.