Номер 50, страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

50. a) В ромб вписана окружность. Сторона ромба точкой касания делится на отрезки, длины которых равны 16 см и 9 см. Найдите площадь ромба.

б) В ромб вписана окружность. Один из отрезков, на которые сторона ромба делится точкой касания, равен 4 см. Найдите площадь ромба, если высота ромба равна 12 см.

а)

Пусть дан ромб, в который вписана окружность. Точка касания делит сторону ромба на отрезки длиной 16 см и 9 см.

1. Найдем сторону ромба. Так как все стороны ромба равны, длина одной стороны $a$ будет равна сумме длин отрезков, на которые ее делит точка касания:
$a = 16 \text{ см} + 9 \text{ см} = 25 \text{ см}$

2. Найдем высоту ромба $h$. Высота ромба, в который вписана окружность, равна диаметру этой окружности, то есть $h = 2r$, где $r$ – радиус вписанной окружности.

3. Для нахождения радиуса воспользуемся свойством: радиус вписанной в ромб окружности, проведенный в точку касания, является высотой прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной ромба. Квадрат этой высоты ($r^2$) равен произведению отрезков, на которые точка касания делит сторону ромба (гипотенузу).
Обозначим отрезки как $x = 16$ см и $y = 9$ см. Тогда:
$r^2 = x \cdot y = 16 \cdot 9 = 144$
$r = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$

4. Теперь найдем высоту ромба:
$h = 2r = 2 \cdot 12 = 24 \text{ см}$

5. Площадь ромба $S$ вычисляется по формуле произведения стороны на высоту:
$S = a \cdot h$
$S = 25 \text{ см} \cdot 24 \text{ см} = 600 \text{ см}^2$

Ответ: 600 см².

б)

Пусть дан ромб, в который вписана окружность. Один из отрезков, на которые сторона ромба делится точкой касания, равен 4 см, а высота ромба равна 12 см.

1. Найдем радиус вписанной окружности $r$. Высота ромба $h$ равна диаметру вписанной окружности:
$h = 2r$
Известно, что $h = 12$ см, следовательно:
$r = \frac{h}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}$

2. Найдем второй отрезок, на который делится сторона ромба. Воспользуемся свойством, упомянутым в пункте а): квадрат радиуса вписанной окружности равен произведению отрезков, на которые точка касания делит сторону ромба.
Пусть один отрезок $x = 4$ см, а второй – $y$.
$r^2 = x \cdot y$
$6^2 = 4 \cdot y$
$36 = 4y$
$y = \frac{36}{4} = 9 \text{ см}$

3. Найдем длину стороны ромба $a$:
$a = x + y = 4 \text{ см} + 9 \text{ см} = 13 \text{ см}$

4. Найдем площадь ромба $S$ по формуле произведения стороны на высоту:
$S = a \cdot h$
$S = 13 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 156 \text{ см}^2$

Ответ: 156 см².