Номер 53, страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

53. а) Высота ромба равна 4, а косинус угла между высотой и большей диагональю ромба равен 0,6. Найдите площадь ромба.

б) Высота ромба равна 2, а тангенс угла между высотой и большей диагональю ромба равен $\frac{4}{3}$. Найдите площадь ромба.

а)

Пусть дан ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$. Его высота $h$ и площадь $S$ связаны следующими соотношениями:

$h = a \sin(\alpha)$

$S = a \cdot h$

Из этих формул можно выразить площадь через высоту и синус острого угла ромба:

$a = \frac{h}{\sin(\alpha)} \implies S = \frac{h}{\sin(\alpha)} \cdot h = \frac{h^2}{\sin(\alpha)}$

Чтобы решить задачу, нам нужно найти значение $\sin(\alpha)$. Для этого установим связь между острым углом ромба $\alpha$ и углом $\gamma$ между высотой и большей диагональю.

Пусть $ABCD$ – ромб, где $\angle A = \alpha$ – острый угол. Тогда $AC$ – большая диагональ. Проведем высоту $DK$ из вершины $D$ к стороне $AB$. По определению, $DK \perp AB$ и $DK = h$. Диагональ $AC$ является биссектрисой угла $A$, поэтому $\angle CAK = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим треугольник $APK$, где $P$ – точка пересечения высоты $DK$ и диагонали $AC$. Так как $DK \perp AB$, то угол $\angle AKD = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $APK$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Угол $\gamma$ между высотой $DK$ и диагональю $AC$ – это угол $\angle APK$. В треугольнике $APK$ он равен:

$\gamma = \angle APK = 90^\circ - \angle PAK = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$

Теперь, используя это соотношение и данные из условия, найдем $\sin(\alpha)$. Нам дано, что $\cos(\gamma) = 0.6$.

$\cos(\gamma) = \cos(90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = \sin(\frac{\alpha}{2})$

Следовательно, $\sin(\frac{\alpha}{2}) = 0.6$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$, найдем $\cos(\frac{\alpha}{2})$. Так как $\alpha$ - острый угол ромба ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), то $0^\circ < \frac{\alpha}{2} < 45^\circ$, и его косинус положителен.

$\cos(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{1 - \sin^2(\frac{\alpha}{2})} = \sqrt{1 - 0.6^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$

Теперь найдем $\sin(\alpha)$ по формуле синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$:

$\sin(\alpha) = 2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2}) = 2 \cdot 0.6 \cdot 0.8 = 0.96$

Наконец, можем вычислить площадь ромба, зная, что $h=4$:

$S = \frac{h^2}{\sin(\alpha)} = \frac{4^2}{0.96} = \frac{16}{96/100} = \frac{16 \cdot 100}{96} = \frac{1600}{96}$

Сократим дробь:

$S = \frac{1600 \div 16}{96 \div 16} = \frac{100}{6} = \frac{50}{3}$

Ответ: $S = \frac{50}{3}$.

б)

Как и в предыдущем пункте, будем использовать формулу для площади ромба $S = \frac{h^2}{\sin(\alpha)}$ и установленное соотношение между углами $\gamma = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

По условию, тангенс угла $\gamma$ между высотой и большей диагональю равен $\frac{4}{3}$.

$\tan(\gamma) = \tan(90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = \cot(\frac{\alpha}{2})$

Следовательно, $\cot(\frac{\alpha}{2}) = \frac{4}{3}$. Тангенс половины острого угла ромба будет обратной величиной:

$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{\cot(\frac{\alpha}{2})} = \frac{3}{4}$

Теперь найдем $\sin(\alpha)$, используя формулу выражения синуса через тангенс половинного угла:

$\sin(\alpha) = \frac{2\tan(\frac{\alpha}{2})}{1+\tan^2(\frac{\alpha}{2})}$

$\sin(\alpha) = \frac{2 \cdot \frac{3}{4}}{1+(\frac{3}{4})^2} = \frac{\frac{3}{2}}{1+\frac{9}{16}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{16}{16}+\frac{9}{16}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{25}{16}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{25} = \frac{3 \cdot 8}{25} = \frac{24}{25}$

Теперь вычислим площадь ромба, зная, что $h=2$:

$S = \frac{h^2}{\sin(\alpha)} = \frac{2^2}{\frac{24}{25}} = \frac{4}{\frac{24}{25}} = 4 \cdot \frac{25}{24} = \frac{100}{24}$

Сократим дробь:

$S = \frac{100 \div 4}{24 \div 4} = \frac{25}{6}$

Ответ: $S = \frac{25}{6}$.