Номер 56, страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

56. a) Большее основание равнобедренной трапеции равно $6\sqrt{3}$, а угол при этом основании — $75^\circ$. Диагональ трапеции образует с основанием угол $45^\circ$. Найдите меньшее основание трапеции.

б) Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 8, один из углов трапеции — $75^\circ$. Диагональ трапеции образует с основанием угол $45^\circ$. Найдите большее основание трапеции.

а)

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD$ и меньшим $BC$. По условию, $AD = 6\sqrt{3}$, а угол при большем основании $\angle CDA = 75^\circ$. Диагональ $AC$ образует с основанием $AD$ угол $\angle CAD = 45^\circ$.

1. Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти угол $\angle ACD$:
$\angle ACD = 180^\circ - \angle CDA - \angle CAD = 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ = 60^\circ$.

2. Применим теорему синусов к треугольнику $\triangle ACD$ для нахождения боковой стороны $CD$:
$\frac{CD}{\sin(\angle CAD)} = \frac{AD}{\sin(\angle ACD)}$
$\frac{CD}{\sin(45^\circ)} = \frac{6\sqrt{3}}{\sin(60^\circ)}$
$CD = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sin(45^\circ)}{\sin(60^\circ)} = \frac{6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6\sqrt{2}$.

3. Проведем высоту $CK$ из вершины $C$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции проекции боковых сторон на большее основание равны. Длина проекции $KD$ стороны $CD$ на основание $AD$ находится из прямоугольного треугольника $\triangle CKD$:
$KD = CD \cdot \cos(\angle CDA) = 6\sqrt{2} \cdot \cos(75^\circ)$.

4. Для вычисления $\cos(75^\circ)$ используем формулу косинуса суммы:
$\cos(75^\circ) = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) - \sin(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

5. Теперь найдем длину $KD$:
$KD = 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{6(\sqrt{12} - 2)}{4} = \frac{6(2\sqrt{3} - 2)}{4} = 3(\sqrt{3} - 1) = 3\sqrt{3} - 3$.

6. Меньшее основание $BC$ можно найти по формуле $BC = AD - 2 \cdot KD$:
$BC = 6\sqrt{3} - 2(3\sqrt{3} - 3) = 6\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 6 = 6$.

Ответ: 6.

б)

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с меньшим основанием $BC=8$. Угол трапеции равен $75^\circ$. В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, а сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Острый угол $75^\circ$ может быть только при большем основании. Итак, $\angle CDA = 75^\circ$. Диагональ $AC$ образует с основанием угол $45^\circ$. Поскольку основания параллельны ($BC \parallel AD$), то накрест лежащие углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны. Таким образом, $\angle CAD = 45^\circ$.

1. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Угол $\angle DAB = \angle CDA = 75^\circ$. Тогда угол $\angle CAB$ можно найти как разность:
$\angle CAB = \angle DAB - \angle CAD = 75^\circ - 45^\circ = 30^\circ$.

2. Угол $\angle BCA$ равен углу $\angle CAD$ как накрест лежащий при параллельных прямых $BC, AD$ и секущей $AC$.
$\angle BCA = \angle CAD = 45^\circ$.

3. Применим теорему синусов к треугольнику $\triangle ABC$, чтобы найти боковую сторону $AB$:
$\frac{AB}{\sin(\angle BCA)} = \frac{BC}{\sin(\angle CAB)}$
$\frac{AB}{\sin(45^\circ)} = \frac{8}{\sin(30^\circ)}$
$AB = \frac{8 \cdot \sin(45^\circ)}{\sin(30^\circ)} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 8\sqrt{2}$.

4. Так как трапеция равнобедренная, $CD = AB = 8\sqrt{2}$.

5. Проведем высоту $CK$ на основание $AD$. Длина проекции $KD$ стороны $CD$ на основание $AD$ находится из прямоугольного треугольника $\triangle CKD$:
$KD = CD \cdot \cos(\angle CDA) = 8\sqrt{2} \cdot \cos(75^\circ)$.

6. Используем значение $\cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ из предыдущей задачи:
$KD = 8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = 2\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 2(\sqrt{12} - 2) = 2(2\sqrt{3} - 2) = 4\sqrt{3} - 4$.

7. Большее основание $AD$ находится по формуле $AD = BC + 2 \cdot KD$:
$AD = 8 + 2(4\sqrt{3} - 4) = 8 + 8\sqrt{3} - 8 = 8\sqrt{3}$.

Ответ: $8\sqrt{3}$.