Номер 62, страница 188 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

62. а) Диагональ равнобедренной трапеции является биссектрисой ее тупого угла. Меньшее основание трапеции равно 6, а боковая сторона — 10. Найдите площадь трапеции.

б) Диагональ равнобедренной трапеции является биссектрисой ее острого угла. Большее основание трапеции равно 6, а боковая сторона — 4. Найдите площадь трапеции.

а)

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $BC$ — меньшее основание. По условию, меньшее основание $BC = 6$, а боковые стороны $AB = CD = 10$. Диагональ $AC$ является биссектрисой тупого угла $\angle BCD$.

По определению биссектрисы, $AC$ делит угол $\angle BCD$ на два равных угла: $\angle BCA = \angle ACD$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны как накрест лежащие углы при секущей $AC$.

Из этих двух равенств следует, что $\angle ACD = \angle CAD$. Это означает, что треугольник $\triangle ACD$ является равнобедренным с основанием $AC$, и его боковые стороны равны: $AD = CD$.

Так как боковая сторона $CD = 10$, то большее основание $AD = 10$.

Для нахождения площади трапеции нам нужна ее высота. Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ к основанию $AD$. В равнобедренной трапеции отрезок $HD$, отсекаемый высотой от большего основания, можно найти по формуле: $HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{10 - 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CHD$. По теореме Пифагора найдем высоту $CH$: $CH^2 = CD^2 - HD^2$ $CH^2 = 10^2 - 2^2 = 100 - 4 = 96$ $CH = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота. $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot CH = \frac{10 + 6}{2} \cdot 4\sqrt{6} = \frac{16}{2} \cdot 4\sqrt{6} = 8 \cdot 4\sqrt{6} = 32\sqrt{6}$.

Ответ: $32\sqrt{6}$.

б)

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD$ — большее основание. По условию, большее основание $AD = 6$, а боковые стороны $AB = CD = 4$. Диагональ $AC$ является биссектрисой острого угла $\angle DAB$.

По определению биссектрисы, $AC$ делит угол $\angle DAB$ на два равных угла: $\angle BAC = \angle CAD$.

Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны как накрест лежащие углы при секущей $AC$.

Из этих двух равенств следует, что $\angle BAC = \angle BCA$. Это означает, что треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, и его боковые стороны равны: $BC = AB$.

Так как боковая сторона $AB = 4$, то меньшее основание $BC = 4$.

Для нахождения площади трапеции нам нужна ее высота. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к основанию $AD$. В равнобедренной трапеции отрезок $AH$, отсекаемый высотой от большего основания, можно найти по формуле: $AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. По теореме Пифагора найдем высоту $BH$: $BH^2 = AB^2 - AH^2$ $BH^2 = 4^2 - 1^2 = 16 - 1 = 15$ $BH = \sqrt{15}$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота. $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH = \frac{6 + 4}{2} \cdot \sqrt{15} = \frac{10}{2} \cdot \sqrt{15} = 5\sqrt{15}$.

Ответ: $5\sqrt{15}$.