Номер 65, страница 188 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

65. a) В прямоугольной трапеции диагональ, равная 8 см, является биссектрисой ее острого угла. Расстояние от вершины тупого угла трапеции до этой диагонали равно 3 см. Найдите большее основание трапеции.

б) В прямоугольной трапеции диагональ, равная $4\sqrt{6}$ см, является биссектрисой ее острого угла. Расстояние от вершины тупого угла трапеции до этой диагонали равно 1 см. Найдите высоту трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания ($AD > BC$), а $AB$ — высота, перпендикулярная основаниям. Тогда $\angle A = 90^\circ$, $\angle D$ — острый угол, а $\angle C$ — тупой угол.

По условию, диагональ $BD$, выходящая из вершины острого угла $D$, является его биссектрисой. Пусть $\angle ADB = \angle CDB = \alpha$. Тогда полный угол при вершине $D$ равен $\angle ADC = 2\alpha$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($AD \parallel BC$), накрест лежащие углы $\angle CBD$ и $\angle ADB$ равны. Следовательно, $\angle CBD = \alpha$. В треугольнике $BCD$ два угла равны ($\angle CBD = \angle CDB = \alpha$), значит, он является равнобедренным с основанием $BD$. Отсюда следует, что боковые стороны $BC$ и $CD$ равны: $BC=CD$.

Из условия известно, что длина диагонали $BD = 8$ см. Расстояние от вершины тупого угла $C$ до диагонали $BD$ равно 3 см. Это расстояние является длиной перпендикуляра $CH$, опущенного из точки $C$ на прямую $BD$. В равнобедренном треугольнике $BCD$ высота $CH$, проведенная к основанию $BD$, является также и медианой. Следовательно, точка $H$ — середина отрезка $BD$.

$HD = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. По теореме Пифагора найдем сторону $CD$:
$CD^2 = CH^2 + HD^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
Отсюда $CD = \sqrt{25} = 5$ см. Так как $BC = CD$, то $BC = 5$ см.

Для нахождения большего основания $AD$ опустим высоту $CE$ из вершины $C$ на основание $AD$. Четырехугольник $ABCE$ является прямоугольником, поэтому $AE = BC = 5$ см. Длину отрезка $ED$ найдем из прямоугольного треугольника $CED$. В этом треугольнике нам известна гипотенуза $CD=5$ см и угол $\angle CDE = \angle ADC = 2\alpha$.
$ED = CD \cdot \cos(2\alpha)$.
Найдем $\cos(2\alpha)$, используя $\cos(\alpha)$ из треугольника $CHD$:
$\cos(\alpha) = \frac{HD}{CD} = \frac{4}{5}$.
Используем формулу косинуса двойного угла:
$\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1 = 2 \left(\frac{4}{5}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{16}{25} - 1 = \frac{32}{25} - \frac{25}{25} = \frac{7}{25}$.
Теперь найдем $ED$:
$ED = 5 \cdot \frac{7}{25} = \frac{7}{5} = 1,4$ см.

Большее основание $AD$ равно сумме длин отрезков $AE$ и $ED$:
$AD = AE + ED = 5 + 1,4 = 6,4$ см.

Ответ: 6,4 см.

Рассмотрим прямоугольную трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) и высотой $AB$. Таким образом, $\angle A = 90^\circ$, $\angle D$ — острый угол, $\angle C$ — тупой угол.

Диагональ $BD$ является биссектрисой острого угла $D$. Обозначим $\angle ADB = \angle CDB = \alpha$. Весь острый угол $\angle ADC = 2\alpha$. Так как $AD \parallel BC$, то накрест лежащие углы $\angle CBD$ и $\angle ADB$ равны, то есть $\angle CBD = \alpha$. В треугольнике $BCD$ углы при стороне $BD$ равны, следовательно, треугольник равнобедренный и $BC = CD$.

По условию, длина диагонали $BD = 4\sqrt{6}$ см, а расстояние от вершины $C$ до этой диагонали равно 1 см. Опустим перпендикуляр $CH$ из $C$ на $BD$, тогда $CH = 1$ см. В равнобедренном треугольнике $BCD$ высота $CH$ к основанию $BD$ является и медианой, поэтому $H$ — середина $BD$.

$HD = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{6} = 2\sqrt{6}$ см.

В прямоугольном треугольнике $CHD$ по теореме Пифагора найдем сторону $CD$:
$CD^2 = CH^2 + HD^2 = 1^2 + (2\sqrt{6})^2 = 1 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$.
$CD = \sqrt{25} = 5$ см.

Требуется найти высоту трапеции. Высота трапеции равна $AB$. Проведем также высоту $CE$ из вершины $C$ на основание $AD$. Тогда $CE = AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CED$. В нем $CE = CD \cdot \sin(\angle CDE) = CD \cdot \sin(2\alpha)$.

Для вычисления $\sin(2\alpha)$ найдем $\sin(\alpha)$ и $\cos(\alpha)$ из прямоугольного треугольника $CHD$:
$\sin(\alpha) = \frac{CH}{CD} = \frac{1}{5}$.
$\cos(\alpha) = \frac{HD}{CD} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$.
Используем формулу синуса двойного угла:
$\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = 2 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} = \frac{4\sqrt{6}}{25}$.

Теперь можем найти высоту трапеции $CE$:
$CE = CD \cdot \sin(2\alpha) = 5 \cdot \frac{4\sqrt{6}}{25} = \frac{4\sqrt{6}}{5}$ см.
Поскольку $AB = CE$, высота трапеции равна $\frac{4\sqrt{6}}{5}$ см.

Ответ: $\frac{4\sqrt{6}}{5}$ см.