Номер 58, страница 187 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

58. a) В равнобедренной трапеции из вершины тупого угла проведена высота. Больший из отрезков, на которые делится большее основание этой высотой, равен 12 см. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 5 см.

б) В равнобедренной трапеции из вершины тупого угла проведена высота. Больший из отрезков, на которые делится большее основание этой высотой, равен 10 см. Найдите высоту трапеции, если ее площадь равна 60 $см^2$.

а)

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD > BC$. Проведем из вершины тупого угла $B$ высоту $BH$ на большее основание $AD$. Высота делит основание $AD$ на два отрезка: $AH$ и $HD$.

Проведем также высоту $CK$ из вершины $C$ на основание $AD$. Поскольку трапеция равнобедренная, то прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны (по гипотенузе и катету). Следовательно, отрезки $AH$ и $DK$ равны: $AH = DK$.

Четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, так как $BC \parallel AD$ и $BH \perp AD, CK \perp AD$. Отсюда следует, что $HK = BC$.

Отрезок $HD$ можно представить в виде суммы отрезков $HK$ и $DK$: $HD = HK + DK$. Заменив $HK$ на $BC$ и $DK$ на $AH$, получаем $HD = BC + AH$. Так как $AH > 0$ и $BC > 0$, то $HD$ всегда больше $AH$. Значит, $HD$ — это больший из отрезков, на которые высота делит большее основание. По условию, $HD = 12$ см.

Формула площади трапеции: $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$, где $h$ — высота.

Рассмотрим полусумму оснований (которая также является средней линией трапеции):

$\frac{AD + BC}{2} = \frac{(AH + HD) + BC}{2}$

Из равенства $HD = BC + AH$ мы можем выразить $AH = HD - BC$. Подставим это выражение в формулу для полусуммы оснований:

$\frac{AD + BC}{2} = \frac{((HD - BC) + HD) + BC}{2} = \frac{2 \cdot HD - BC + BC}{2} = \frac{2 \cdot HD}{2} = HD$

Таким образом, мы доказали важное свойство равнобедренной трапеции: полусумма ее оснований равна большему отрезку, на который высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание.

Теперь формула площади трапеции может быть записана как: $S = HD \cdot h$.

Подставим известные значения из условия задачи: $HD = 12$ см и высота $h = 5$ см.

$S = 12 \cdot 5 = 60$ см².

Ответ: 60 см².

б)

Как было доказано в предыдущем пункте, для равнобедренной трапеции площадь ($S$) может быть вычислена по формуле $S = d_{long} \cdot h$, где $d_{long}$ — это длина большего отрезка, на который высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание, а $h$ — это высота трапеции.

По условию задачи нам даны:

• Больший отрезок $d_{long} = 10$ см.
• Площадь трапеции $S = 60$ см².

Требуется найти высоту $h$.

Подставим известные значения в формулу:

$60 = 10 \cdot h$

Чтобы найти $h$, разделим обе части уравнения на 10:

$h = \frac{60}{10}$

$h = 6$ см.

Ответ: 6 см.