Номер 54, страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

54. a) Найдите площадь равнобедренной трапеции, основания которой равны 4 см и 12 см, а острый угол равен $60^\circ$.

б) Один из углов равнобедренной трапеции равен $30^\circ$. Найдите площадь трапеции, если ее боковая сторона равна $8\sqrt{3}$ см, а меньшее основание — 6 см.

а) Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями $BC = 4$ см и $AD = 12$ см. Острые углы при большем основании равны, $\angle A = \angle D = 60°$. Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота. Для нахождения высоты $h$ проведем из вершины B высоту BH к основанию AD. Получим прямоугольный треугольник ABH. В равнобедренной трапеции отрезок AH, который высота отсекает от большего основания, равен полуразности оснований: $AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{12 - 4}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см. В прямоугольном треугольнике ABH мы знаем катет AH и прилежащий к нему острый угол $\angle A = 60°$. Высоту BH (второй катет) можно найти через тангенс угла A: $h = BH = AH \cdot \tan(\angle A) = 4 \cdot \tan(60°)$. Так как $\tan(60°) = \sqrt{3}$, то высота $h = 4\sqrt{3}$ см. Теперь можем вычислить площадь трапеции: $S = \frac{12 + 4}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{16}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 8 \cdot 4\sqrt{3} = 32\sqrt{3}$ см².
Ответ: $32\sqrt{3}$ см².

б) Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD. Один из углов равен $30°$. Поскольку трапеция равнобедренная, углы при каждом основании равны. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180°$. Значит, в трапеции есть два острых угла по $30°$ и два тупых угла по $180° - 30° = 150°$. Острый угол при большем основании равен $30°$. Дано: боковая сторона $AB = CD = 8\sqrt{3}$ см, меньшее основание $BC = 6$ см. Для нахождения площади $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$ нужно найти высоту $h$ и большее основание $b = AD$. Проведем высоту BH из вершины B к основанию AD. В получившемся прямоугольном треугольнике ABH гипотенуза $AB = 8\sqrt{3}$ см, а угол $\angle A = 30°$. Высота $h = BH$ является катетом, противолежащим углу $30°$. Из определения синуса: $h = BH = AB \cdot \sin(30°) = 8\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 4\sqrt{3}$ см. Найдем второй катет AH, который является проекцией боковой стороны на большее основание. Из определения косинуса: $AH = AB \cdot \cos(30°) = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8 \cdot 3}{2} = 12$ см. Большее основание AD состоит из трех отрезков: $AD = AH + HK + KD$. В равнобедренной трапеции $AH = KD = 12$ см, а центральная часть $HK$ равна меньшему основанию $BC = 6$ см. Следовательно, большее основание $b = AD = 12 + 6 + 12 = 30$ см. Теперь вычислим площадь трапеции: $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h = \frac{6 + 30}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{36}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 18 \cdot 4\sqrt{3} = 72\sqrt{3}$ см².
Ответ: $72\sqrt{3}$ см².