Номер 59, страница 187 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

59. a) Диагонали трапеции равны $4$ см и $6$ см, а средняя линия — $3$ см. Найдите площадь трапеции.

б) Диагонали трапеции равны $2$ см и $8$ см, а средняя линия — $4$ см. Найдите площадь трапеции.

а)

Для нахождения площади трапеции воспользуемся известной теоремой: площадь трапеции равна площади треугольника, стороны которого равны диагоналям трапеции и сумме ее оснований.

Дано:

• Диагональ $d_1 = 4$ см
• Диагональ $d_2 = 6$ см
• Средняя линия $m = 3$ см

Сумма оснований трапеции ($a+b$) связана с ее средней линией $m$ формулой $a+b = 2m$. В данном случае, сумма оснований равна $2 \cdot 3 = 6$ см.

Теперь мы можем найти площадь треугольника со сторонами 4 см, 6 см и 6 см. Для этого воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-s_1)(p-s_2)(p-s_3)}$, где $s_1, s_2, s_3$ — стороны треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Вычислим полупериметр $p$: $p = \frac{4 + 6 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Теперь подставим значения в формулу Герона: $S = \sqrt{8(8-4)(8-6)(8-6)} = \sqrt{8 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 2} = \sqrt{128}$ см$^2$.

Упростим корень: $\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$.

Таким образом, площадь трапеции равна площади этого треугольника.

Ответ: $8\sqrt{2}$ см$^2$.

б)

Решим задачу аналогично предыдущему пункту.

Дано:

• Диагональ $d_1 = 2$ см
• Диагональ $d_2 = 8$ см
• Средняя линия $m = 4$ см

Найдем сумму оснований трапеции: $a+b = 2m = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Теперь найдем площадь треугольника со сторонами, равными 2 см, 8 см и 8 см. Снова используем формулу Герона.

Вычислим полупериметр $p$: $p = \frac{2 + 8 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Подставим значения в формулу: $S = \sqrt{9(9-2)(9-8)(9-8)} = \sqrt{9 \cdot 7 \cdot 1 \cdot 1} = \sqrt{63}$ см$^2$.

Упростим корень: $\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$.

Площадь трапеции равна площади найденного треугольника.

Ответ: $3\sqrt{7}$ см$^2$.