Номер 52, страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

52. а) Периметр ромба равен 68. Периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон ромба, равен 46. Найдите площадь этого четырехугольника.

б) Середины сторон ромба последовательно соединили и получили четырехугольник с периметром 56. Найдите площадь ромба, если его периметр равен 80.

а)

Пусть дан ромб с периметром $P_{ромба} = 68$. Сторона ромба $a$ равна $P_{ромба} / 4$.
$a = 68 / 4 = 17$.

Четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон ромба, согласно теореме Вариньона, является параллелограммом. Так как диагонали ромба перпендикулярны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Пусть диагонали ромба равны $d_1$ и $d_2$. Стороны прямоугольника, образованного серединами сторон ромба, равны половинам диагоналей ромба, то есть $k = d_1/2$ и $l = d_2/2$.

Периметр этого прямоугольника равен $P_{прямоуг.} = 2(k+l) = 2(d_1/2 + d_2/2) = d_1 + d_2$.
По условию, $P_{прямоуг.} = 46$, следовательно, $d_1 + d_2 = 46$.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. По теореме Пифагора:
$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$
$\frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = 17^2$
$d_1^2 + d_2^2 = 4 \cdot 289 = 1156$.

Мы ищем площадь этого четырехугольника (прямоугольника), которая равна $S = k \cdot l = \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} = \frac{d_1 d_2}{4}$.
Для нахождения $d_1 d_2$ воспользуемся известными нам суммами:
$(d_1 + d_2)^2 = d_1^2 + 2d_1 d_2 + d_2^2$
$46^2 = 1156 + 2d_1 d_2$
$2116 = 1156 + 2d_1 d_2$
$2d_1 d_2 = 2116 - 1156 = 960$
$d_1 d_2 = 480$.

Теперь можем найти площадь четырехугольника:
$S = \frac{d_1 d_2}{4} = \frac{480}{4} = 120$.

Ответ: 120.

б)

Пусть дан ромб с периметром $P_{ромба} = 80$. Сторона ромба $a$ равна $P_{ромба} / 4$.
$a = 80 / 4 = 20$.

Четырехугольник, полученный соединением середин сторон ромба, является прямоугольником. Его периметр, по условию, равен 56.

Как и в предыдущем пункте, периметр этого прямоугольника равен сумме диагоналей ромба $d_1$ и $d_2$.
$d_1 + d_2 = 56$.

Используем теорему Пифагора для связи стороны ромба и его диагоналей:
$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$
$\frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = 20^2$
$d_1^2 + d_2^2 = 4 \cdot 400 = 1600$.

Требуется найти площадь ромба, которая вычисляется по формуле $S_{ромба} = \frac{1}{2} d_1 d_2$.
Найдем произведение $d_1 d_2$ из системы уравнений:
$(d_1 + d_2)^2 = d_1^2 + 2d_1 d_2 + d_2^2$
$56^2 = 1600 + 2d_1 d_2$
$3136 = 1600 + 2d_1 d_2$
$2d_1 d_2 = 3136 - 1600 = 1536$.

Теперь можем найти площадь ромба:
$S_{ромба} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{2d_1 d_2}{4} = \frac{1536}{4} = 384$.
Или, так как $2d_1 d_2 = 1536$, то $S_{ромба} = \frac{1536}{2} / 2 \cdot 2 = \frac{1}{2} (2d_1 d_2) = \frac{1}{2} \cdot 1536$ - ошибка в рассуждении.
Правильно: $S_{ромба} = \frac{1}{2} (d_1 d_2)$. Так как $2d_1 d_2 = 1536$, то $d_1 d_2 = 1536 / 2 = 768$.
$S_{ромба} = \frac{1}{2} \cdot 768 = 384$.

Ответ: 384.