Номер 48, страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

48. a) В ромбе $ABCD$ угол $A$ — острый, $BH$ — высота, косинус угла $DBH$ равен $\frac{2}{3}$. Найдите площадь ромба, если $BH = 4\sqrt{5}$.

б) В ромбе $ABCD$ угол $A$ — острый, $BH$ — высота, косинус угла $DBH$ равен $\frac{2}{3}$. Найдите площадь ромба, если $BD = 6\sqrt{5}$.

а)

Пусть $ABCD$ — ромб со стороной $a$ и острым углом $A$. $BH$ — высота, проведенная к стороне $AD$, поэтому $BH \perp AD$. Следовательно, треугольник $BHD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$.

Из условия нам известны катет $BH = 4\sqrt{5}$ и косинус угла $DBH$. В прямоугольном треугольнике $BHD$ косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
$\cos(\angle DBH) = \frac{BH}{BD}$

Подставим известные значения:
$\frac{2}{3} = \frac{4\sqrt{5}}{BD}$

Отсюда найдем длину диагонали $BD$:
$BD = \frac{3 \cdot 4\sqrt{5}}{2} = 6\sqrt{5}$

Теперь, используя теорему Пифагора для треугольника $BHD$, найдем катет $HD$:
$HD^2 = BD^2 - BH^2 = (6\sqrt{5})^2 - (4\sqrt{5})^2 = 36 \cdot 5 - 16 \cdot 5 = 180 - 80 = 100$
$HD = \sqrt{100} = 10$

Рассмотрим треугольник $ABH$. Он также прямоугольный ($BH \perp AD$). По теореме Пифагора:
$AB^2 = AH^2 + BH^2$

Так как $ABCD$ — ромб, то $AB = AD = a$. Поскольку угол $A$ острый, основание высоты $H$ лежит на стороне $AD$. Таким образом, $AD = AH + HD$.
$a = AH + 10$, откуда $AH = a - 10$.

Подставим это в уравнение теоремы Пифагора для $△ABH$:
$a^2 = (a - 10)^2 + (4\sqrt{5})^2$
$a^2 = a^2 - 20a + 100 + 80$
$0 = -20a + 180$
$20a = 180$
$a = 9$

Мы нашли сторону ромба. Площадь ромба равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
$S_{ABCD} = AD \cdot BH = a \cdot BH = 9 \cdot 4\sqrt{5} = 36\sqrt{5}$

Замечание: В ходе решения мы нашли сторону $a=9$. При этом $AH = a - 10 = 9 - 10 = -1$, что невозможно. Также можно найти косинус угла $A$ из треугольника $ABH$: $\cos A = \frac{AH}{AB} = \frac{a-10}{a} = \frac{9-10}{9} = -\frac{1}{9}$. Отрицательное значение косинуса означает, что угол $A$ — тупой, что противоречит условию задачи. Вероятно, в условии содержится неточность. Однако, если игнорировать условие об остроте угла, полученный численный ответ является верным для ромба с заданными параметрами.

Ответ: $36\sqrt{5}$

б)

Пусть $ABCD$ — ромб со стороной $a$ и острым углом $A$. $BH$ — высота, проведенная к стороне $AD$, поэтому $BH \perp AD$. Треугольник $BHD$ является прямоугольным с прямым углом $H$.

Нам даны гипотенуза $BD = 6\sqrt{5}$ и косинус угла $DBH = \frac{2}{3}$. Найдем катет $BH$:
$BH = BD \cdot \cos(\angle DBH) = 6\sqrt{5} \cdot \frac{2}{3} = 4\sqrt{5}$

По теореме Пифагора для треугольника $BHD$ найдем второй катет $HD$:
$HD^2 = BD^2 - BH^2 = (6\sqrt{5})^2 - (4\sqrt{5})^2 = 180 - 80 = 100$
$HD = 10$

Дальнейшие шаги полностью совпадают с решением пункта а). Мы имеем те же значения для высоты $BH$ и отрезка $HD$. Нам нужно найти сторону ромба $a$.

В прямоугольном треугольнике $ABH$: $AB^2 = AH^2 + BH^2$.
Так как $AB = AD = a$ и $AH = AD - HD = a - 10$ (поскольку угол $A$ острый), получаем уравнение:
$a^2 = (a-10)^2 + (4\sqrt{5})^2$
$a^2 = a^2 - 20a + 100 + 80$
$20a = 180$
$a = 9$

Площадь ромба равна произведению стороны на высоту:
$S_{ABCD} = AD \cdot BH = a \cdot BH = 9 \cdot 4\sqrt{5} = 36\sqrt{5}$

Как и в пункте а), полученные данные приводят к выводу, что угол $A$ на самом деле тупой, что противоречит условию. Ответ получен в предположении, что условие об остроте угла можно игнорировать.

Ответ: $36\sqrt{5}$