Номер 61, страница 187 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

61. a) В равнобедренной трапеции большее основание равно 10, боковая сторона — $2\sqrt{10}$, а диагональ — $2\sqrt{15}$. Найдите площадь трапеции.

б) В равнобедренной трапеции диагональ и большее основание равны по 5, а боковая сторона трапеции — 4. Найдите площадь трапеции.

а)

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, большее основание $AD = 10$, боковая сторона $AB = CD = 2\sqrt{10}$, а диагональ $AC = 2\sqrt{15}$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота. В нашем случае $a = AD = 10$. Нам нужно найти меньшее основание $b = BC$ и высоту $h$.

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ к основанию $AD$. Получим два прямоугольных треугольника: $\triangle ACH$ и $\triangle CDH$.

В равнобедренной трапеции отрезок $HD$, отсекаемый высотой от большего основания, равен полуразности оснований: $HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{10 - BC}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CDH$. По теореме Пифагора:

$CH^2 + HD^2 = CD^2$

$h^2 + \left(\frac{10 - BC}{2}\right)^2 = (2\sqrt{10})^2$

$h^2 + \frac{(10 - BC)^2}{4} = 40$ (1)

Отрезок $AH$ равен $AD - HD = 10 - \frac{10 - BC}{2} = \frac{20 - 10 + BC}{2} = \frac{10 + BC}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. По теореме Пифагора:

$CH^2 + AH^2 = AC^2$

$h^2 + \left(\frac{10 + BC}{2}\right)^2 = (2\sqrt{15})^2$

$h^2 + \frac{(10 + BC)^2}{4} = 60$ (2)

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $h$ и $BC$. Вычтем из уравнения (2) уравнение (1):

$\left(h^2 + \frac{(10 + BC)^2}{4}\right) - \left(h^2 + \frac{(10 - BC)^2}{4}\right) = 60 - 40$

$\frac{(10 + BC)^2 - (10 - BC)^2}{4} = 20$

$(10 + BC)^2 - (10 - BC)^2 = 80$

Используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$((10 + BC) - (10 - BC)) \cdot ((10 + BC) + (10 - BC)) = 80$

$(2 \cdot BC) \cdot (20) = 80$

$40 \cdot BC = 80$

$BC = 2$

Теперь найдем высоту $h$, подставив значение $BC=2$ в уравнение (1):

$h^2 + \frac{(10 - 2)^2}{4} = 40$

$h^2 + \frac{8^2}{4} = 40$

$h^2 + \frac{64}{4} = 40$

$h^2 + 16 = 40$

$h^2 = 24 \implies h = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$

Теперь можем вычислить площадь трапеции:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{10 + 2}{2} \cdot 2\sqrt{6} = \frac{12}{2} \cdot 2\sqrt{6} = 6 \cdot 2\sqrt{6} = 12\sqrt{6}$.

Ответ: $12\sqrt{6}$.

б)

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, большее основание $AD=5$, диагональ (например, $BD$) равна $5$, а боковая сторона $AB=CD=4$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Его стороны равны $AB=4$, $AD=5$, $BD=5$. Так как $AD=BD$, треугольник $ABD$ является равнобедренным.

Для нахождения площади трапеции $S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h$ нам нужно найти высоту $h$ и меньшее основание $BC$.

Найдем косинус угла $A$ в треугольнике $ABD$ по теореме косинусов:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$

$5^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos(\angle A)$

$25 = 16 + 25 - 40 \cos(\angle A)$

$0 = 16 - 40 \cos(\angle A)$

$40 \cos(\angle A) = 16$

$\cos(\angle A) = \frac{16}{40} = \frac{2}{5}$

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. $BH = h$ — это высота трапеции. В прямоугольном треугольнике $ABH$ катет $AH$ равен:

$AH = AB \cdot \cos(\angle A) = 4 \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{5}$

Теперь найдем высоту $h$ по теореме Пифагора в треугольнике $ABH$:

$h^2 = AB^2 - AH^2 = 4^2 - \left(\frac{8}{5}\right)^2 = 16 - \frac{64}{25} = \frac{400 - 64}{25} = \frac{336}{25}$

$h = \sqrt{\frac{336}{25}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 21}}{5} = \frac{4\sqrt{21}}{5}$

В равнобедренной трапеции, если провести обе высоты из вершин меньшего основания, они отсекут на большем основании два равных отрезка. То есть $AD = 2 \cdot AH + BC$.

$5 = 2 \cdot \frac{8}{5} + BC$

$5 = \frac{16}{5} + BC$

$BC = 5 - \frac{16}{5} = \frac{25 - 16}{5} = \frac{9}{5}$

Теперь мы можем вычислить площадь трапеции:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{5 + \frac{9}{5}}{2} \cdot \frac{4\sqrt{21}}{5} = \frac{\frac{25+9}{5}}{2} \cdot \frac{4\sqrt{21}}{5} = \frac{\frac{34}{5}}{2} \cdot \frac{4\sqrt{21}}{5} = \frac{17}{5} \cdot \frac{4\sqrt{21}}{5} = \frac{68\sqrt{21}}{25}$

Ответ: $\frac{68\sqrt{21}}{25}$.