Номер 68, страница 189 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

68. а) В трапеции $ABCD$ боковые стороны $AB$ и $CD$ продолжены до пересечения в точке $P$. Найдите длину $CD$, если $AB : AP = 15 : 22$, а $PD = 66$ см.

б) В трапеции $ABCD$ боковые стороны $AB$ и $CD$ продолжены до пересечения в точке $O$. Найдите длину $CD$, если $AB : OB = 12 : 7$, а $OD = 57$ см.

а) Рассмотрим трапецию $ABCD$, где $BC$ и $AD$ — основания. Боковые стороны $AB$ и $CD$ продолжены до пересечения в точке $P$. При этом образуются два треугольника: $\triangle PAD$ и $\triangle PBC$. Так как $BC \parallel AD$ (по определению трапеции), то $\angle PBC = \angle PAD$ и $\angle PCB = \angle PDA$ как соответственные углы при параллельных прямых $BC$, $AD$ и секущих $AP$, $DP$ соответственно. Угол $\angle P$ является общим для обоих треугольников. Следовательно, треугольник $\triangle PBC$ подобен треугольнику $\triangle PAD$ по трем углам. Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: $ \frac{PB}{PA} = \frac{PC}{PD} = \frac{BC}{AD} $ По условию дано отношение $AB : AP = 15 : 22$, что можно записать как $\frac{AB}{AP} = \frac{15}{22}$. Точка $A$ лежит на отрезке $PB$, поэтому $PB = PA - AB$. Найдем отношение $\frac{PB}{PA}$: $ \frac{PB}{PA} = \frac{PA - AB}{PA} = 1 - \frac{AB}{PA} = 1 - \frac{15}{22} = \frac{22 - 15}{22} = \frac{7}{22} $ Следовательно, коэффициент подобия треугольников равен $\frac{7}{22}$. Тогда $\frac{PC}{PD} = \frac{7}{22}$. Нам дана длина $PD = 66$ см. Найдем длину $PC$: $ PC = \frac{7}{22} \cdot PD = \frac{7}{22} \cdot 66 = 7 \cdot 3 = 21 $ см. Длина искомого отрезка $CD$ равна разности длин отрезков $PD$ и $PC$: $ CD = PD - PC = 66 - 21 = 45 $ см.
Ответ: 45 см.

б) Рассмотрим трапецию $ABCD$, где $BC$ и $AD$ — основания. Боковые стороны $AB$ и $CD$ продолжены до пересечения в точке $O$. Аналогично пункту а), треугольник $\triangle OBC$ подобен треугольнику $\triangle OAD$ ($\triangle OBC \sim \triangle OAD$). Из подобия следует соотношение: $ \frac{OB}{OA} = \frac{OC}{OD} = \frac{BC}{AD} $ По условию дано отношение $AB : OB = 12 : 7$, то есть $\frac{AB}{OB} = \frac{12}{7}$. Точка $B$ лежит на отрезке $OA$, поэтому $OA = OB + AB$. Найдем отношение $\frac{OB}{OA}$: Из $\frac{AB}{OB} = \frac{12}{7}$ следует, что $AB = \frac{12}{7} OB$. Тогда $OA = OB + AB = OB + \frac{12}{7} OB = (1 + \frac{12}{7}) OB = \frac{19}{7} OB$. Теперь найдем отношение сторон подобных треугольников: $ \frac{OB}{OA} = \frac{OB}{\frac{19}{7} OB} = \frac{1}{\frac{19}{7}} = \frac{7}{19} $ Следовательно, коэффициент подобия равен $\frac{7}{19}$. Значит, $\frac{OC}{OD} = \frac{7}{19}$. Нам дана длина $OD = 57$ см. Найдем длину $OC$: $ OC = \frac{7}{19} \cdot OD = \frac{7}{19} \cdot 57 = 7 \cdot 3 = 21 $ см. Длина искомого отрезка $CD$ равна разности длин отрезков $OD$ и $OC$: $ CD = OD - OC = 57 - 21 = 36 $ см.
Ответ: 36 см.