Номер 74, страница 190 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

74. a) В равнобедренную трапецию вписана окружность радиусом 2. Найдите меньшую сторону этой трапеции, если ее площадь равна 20.

б) Около окружности диаметром $2\sqrt{6}$ описана равнобедренная трапеция, площадь которой равна $10\sqrt{6}$. Найдите большую сторону трапеции.

а)

Пусть $a$ и $b$ — основания равнобедренной трапеции ($a$ — меньшее, $b$ — большее), $c$ — её боковая сторона, $h$ — высота, $r$ — радиус вписанной окружности, а $S$ — площадь.

Высота трапеции, в которую можно вписать окружность, равна диаметру этой окружности. По условию радиус $r=2$, следовательно, высота $h = 2r = 2 \cdot 2 = 4$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$. Подставим известные значения площади и высоты, чтобы найти сумму оснований: $20 = \frac{a+b}{2} \cdot 4$ $20 = (a+b) \cdot 2$ Сумма оснований равна $a+b = 10$.

Основное свойство описанного четырёхугольника заключается в том, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для равнобедренной трапеции это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон: $a+b = c+c = 2c$. Так как $a+b=10$, то $2c = 10$, откуда находим длину боковой стороны $c=5$.

Теперь найдём длины оснований $a$ и $b$. Для этого опустим высоту из вершины меньшего основания на большее. Эта высота отсекает от трапеции прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона $c$, а катетами — высота $h$ и отрезок, равный полуразности оснований $\frac{b-a}{2}$. Применим теорему Пифагора: $c^2 = h^2 + \left(\frac{b-a}{2}\right)^2$. $5^2 = 4^2 + \left(\frac{b-a}{2}\right)^2$ $25 = 16 + \left(\frac{b-a}{2}\right)^2$ $\left(\frac{b-a}{2}\right)^2 = 25 - 16 = 9$ $\frac{b-a}{2} = 3$ (длина отрезка положительна). Отсюда разность оснований $b-a = 6$.

Мы получили систему из двух линейных уравнений для $a$ и $b$: $\begin{cases} b+a = 10 \\ b-a = 6 \end{cases}$ Сложив эти два уравнения, получим: $2b = 16$, откуда $b=8$. Подставив значение $b=8$ в первое уравнение, находим $a$: $a+8=10$, откуда $a=2$.

Таким образом, стороны трапеции равны: меньшее основание $a=2$, большее основание $b=8$, боковые стороны $c=5$. Меньшая из всех сторон — это меньшее основание.

Ответ: 2

б)

Пусть $a$ и $b$ — основания равнобедренной трапеции ($a$ — меньшее, $b$ — большее), $c$ — её боковая сторона, $h$ — высота, а $S$ — площадь.

Трапеция описана около окружности, поэтому её высота $h$ равна диаметру этой окружности. По условию диаметр равен $2\sqrt{6}$, следовательно, $h = 2\sqrt{6}$.

Используем формулу площади трапеции $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$ для нахождения суммы оснований. $10\sqrt{6} = \frac{a+b}{2} \cdot 2\sqrt{6}$ $10\sqrt{6} = (a+b) \cdot \sqrt{6}$ Разделив обе части уравнения на $\sqrt{6}$, получим $a+b=10$.

По свойству описанной равнобедренной трапеции, сумма оснований равна удвоенной боковой стороне: $a+b=2c$. $10=2c$, откуда боковая сторона $c=5$.

Для нахождения оснований по отдельности воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной $c$, высотой $h$ и отрезком $\frac{b-a}{2}$. $c^2 = h^2 + \left(\frac{b-a}{2}\right)^2$ $5^2 = (2\sqrt{6})^2 + \left(\frac{b-a}{2}\right)^2$ $25 = 4 \cdot 6 + \left(\frac{b-a}{2}\right)^2$ $25 = 24 + \left(\frac{b-a}{2}\right)^2$ $\left(\frac{b-a}{2}\right)^2 = 1$ $\frac{b-a}{2} = 1$. Отсюда разность оснований $b-a = 2$.

Составим и решим систему уравнений: $\begin{cases} b+a = 10 \\ b-a = 2 \end{cases}$ Сложив уравнения, получим: $2b = 12$, откуда $b=6$. Подставив $b=6$ в первое уравнение, находим $a$: $a+6=10$, откуда $a=4$.

Стороны трапеции равны: меньшее основание $a=4$, большее основание $b=6$, боковые стороны $c=5$. Бóльшая из всех сторон — это большее основание.

Ответ: 6