Номер 77, страница 191 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

77. а) Трапеция вписана в окружность радиусом $5$ см, диагональ трапеции, равная $8$ см, перпендикулярна ее боковой стороне. Найдите высоту трапеции.

б) В окружность радиусом $6,5$ см вписана трапеция. Диагональ трапеции равна $12$ см и перпендикулярна ее боковой стороне. Найдите среднюю линию трапеции.

а)

Пусть дана трапеция ABCD, вписанная в окружность, с основаниями AD и BC. Так как трапеция вписана в окружность, она является равнобедренной. Это означает, что ее боковые стороны равны ($AB=CD$) и диагонали равны ($AC=BD$).

По условию, радиус описанной окружности $R = 5$ см, а диагональ, например AC, равна 8 см. Также дано, что диагональ перпендикулярна боковой стороне, то есть $AC \perp CD$.

Рассмотрим треугольник ACD. Угол $\angle ACD = 90^\circ$. Так как этот треугольник вписан в окружность, его гипотенуза AD является диаметром окружности. Это следует из свойства, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым.

Следовательно, большее основание трапеции AD равно диаметру окружности: $AD = 2R = 2 \times 5 = 10$ см.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ACD, в котором известны гипотенуза $AD = 10$ см и катет $AC = 8$ см. Мы можем найти второй катет CD (боковую сторону трапеции) по теореме Пифагора: $CD^2 = AD^2 - AC^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$ см$^2$. $CD = \sqrt{36} = 6$ см.

Высота трапеции — это перпендикуляр, опущенный из вершины меньшего основания на большее. Опустим высоту CH из вершины C на основание AD. Эта высота CH является также высотой прямоугольного треугольника ACD, проведенной к гипотенузе.

Площадь треугольника ACD можно вычислить двумя способами:
1. Через катеты: $S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$ см$^2$.
2. Через гипотенузу и высоту к ней: $S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CH$.

Приравнивая эти два выражения для площади, находим высоту CH: $\frac{1}{2} \cdot AD \cdot CH = 24$
$\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot CH = 24$
$5 \cdot CH = 24$
$CH = \frac{24}{5} = 4,8$ см.

Ответ: 4,8 см.

б)

Аналогично пункту а), пусть дана трапеция ABCD, вписанная в окружность, с основаниями AD и BC. Трапеция является равнобедренной.

По условию, радиус описанной окружности $R = 6,5$ см, диагональ $AC = 12$ см и $AC \perp CD$.

Так как прямоугольный треугольник ACD вписан в окружность, его гипотенуза AD является диаметром окружности. $AD = 2R = 2 \times 6,5 = 13$ см.

В прямоугольном треугольнике ACD с гипотенузой $AD=13$ см и катетом $AC=12$ см, найдем второй катет CD по теореме Пифагора: $CD^2 = AD^2 - AC^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$ см$^2$. $CD = \sqrt{25} = 5$ см.

Средняя линия трапеции m вычисляется по формуле $m = \frac{AD + BC}{2}$. Нам нужно найти длину меньшего основания BC.

Проведем высоту CH из вершины C на основание AD. Найдем длину этой высоты из площади треугольника ACD: $S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30$ см$^2$.
С другой стороны, $S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CH$.
$30 = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot CH \implies CH = \frac{60}{13}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. Мы знаем гипотенузу $CD=5$ см и катет $CH = \frac{60}{13}$ см. Найдем второй катет HD: $HD^2 = CD^2 - CH^2 = 5^2 - (\frac{60}{13})^2 = 25 - \frac{3600}{169} = \frac{25 \cdot 169 - 3600}{169} = \frac{4225 - 3600}{169} = \frac{625}{169}$. $HD = \sqrt{\frac{625}{169}} = \frac{25}{13}$ см.

Так как трапеция равнобедренная, если провести высоту BK из вершины B на основание AD, то отрезок AK будет равен отрезку HD. $AK=HD=\frac{25}{13}$ см. Меньшее основание BC связано с большим основанием AD соотношением: $AD = AK + KH + HD$. При этом $KH = BC$. Следовательно, $AD = 2 \cdot HD + BC$.
$13 = 2 \cdot \frac{25}{13} + BC$
$13 = \frac{50}{13} + BC$
$BC = 13 - \frac{50}{13} = \frac{169 - 50}{13} = \frac{119}{13}$ см.

Теперь мы можем найти среднюю линию трапеции: $m = \frac{AD + BC}{2} = \frac{13 + \frac{119}{13}}{2} = \frac{\frac{169+119}{13}}{2} = \frac{\frac{288}{13}}{2} = \frac{288}{26} = \frac{144}{13}$ см.

Ответ: $\frac{144}{13}$ см.