Номер 82, страница 192 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

82. а) Четырехугольник описан около окружности, радиус которой равен 3 см, сумма двух противоположных сторон четырехугольника равна 12 см. Найдите площадь четырехугольника.

б) В четырехугольник вписана окружность. Найдите радиус этой окружности, если площадь четырехугольника равна $40 \text{ см}^2$, а сумма двух противоположных сторон равна 10 см.

а)

Площадь $S$ четырехугольника, описанного около окружности (в который можно вписать окружность), вычисляется по формуле $S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр четырехугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Для решения задачи нам нужно найти полупериметр. Воспользуемся свойством описанного четырехугольника (теорема Пито), которое гласит, что суммы длин его противоположных сторон равны. Если обозначить стороны четырехугольника как $a, b, c, d$, то $a + c = b + d$.

По условию, сумма двух противоположных сторон равна 12 см. Это означает, что $a + c = 12$ см. Следовательно, и сумма двух других противоположных сторон также равна 12 см: $b + d = 12$ см.

Периметр $P$ четырехугольника равен сумме длин всех его сторон:
$P = a + b + c + d = (a + c) + (b + d) = 12 + 12 = 24$ см.

Полупериметр $p$ равен половине периметра:
$p = \frac{P}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Теперь мы можем найти площадь четырехугольника, зная полупериметр $p = 12$ см и радиус вписанной окружности $r = 3$ см:
$S = p \cdot r = 12 \cdot 3 = 36$ см².

Ответ: 36 см².

б)

В данной задаче используется та же формула для площади описанного четырехугольника: $S = p \cdot r$. Нам известны площадь $S$ и сумма двух противоположных сторон. Необходимо найти радиус $r$.

Выразим радиус из формулы площади: $r = \frac{S}{p}$.

По условию, площадь четырехугольника $S = 40$ см², а сумма двух противоположных сторон равна 10 см.

Согласно теореме Пито для описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны. Значит, периметр $P$ равен удвоенной сумме двух противоположных сторон:
$P = 10 + 10 = 20$ см.

Найдем полупериметр $p$:
$p = \frac{P}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Теперь, зная площадь и полупериметр, можем вычислить радиус вписанной окружности:
$r = \frac{S}{p} = \frac{40}{10} = 4$ см.

Ответ: 4 см.