Номер 79, страница 192 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

79. a) Около трапеции, основания которой равны 12 и 20, описана окружность. Центр окружности лежит на большем основании трапеции. Найдите площадь трапеции.

б) Трапеция вписана в окружность радиусом 17, меньшее основание трапеции равно 16. Найдите площадь трапеции, если центр окружности лежит на большем основании трапеции.

а) Поскольку около трапеции описана окружность, то эта трапеция является равнобедренной. Пусть дана трапеция ABCD, где AD – большее основание, а BC – меньшее. По условию задачи, $AD = 20$ и $BC = 12$.

Центр окружности O лежит на большем основании AD. Это означает, что большее основание является диаметром описанной окружности. Следовательно, радиус окружности R равен половине длины AD: $R = \frac{AD}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

Для нахождения площади трапеции используется формула $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ – длины оснований, а $h$ – высота. Нам необходимо найти высоту трапеции.

Проведем из вершины C высоту CH на основание AD. Так как трапеция равнобедренная, отрезок HD, который высота отсекает от большего основания, равен полуразности оснований: $HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Рассмотрим треугольник OCH. Он является прямоугольным, так как CH – высота. Гипотенуза OC – это радиус окружности, проведенный из центра O к вершине C, поэтому $OC = R = 10$. Катет OH можно найти, зная положение точек O, H и D на прямой AD. Точка O – середина AD, поэтому $OD = R = 10$. Тогда $OH = OD - HD = 10 - 4 = 6$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника OCH найдем второй катет CH, который является высотой трапеции $h$: $OC^2 = OH^2 + CH^2$ $10^2 = 6^2 + h^2$ $100 = 36 + h^2$ $h^2 = 100 - 36 = 64$ $h = \sqrt{64} = 8$.

Теперь вычислим площадь трапеции: $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{20 + 12}{2} \cdot 8 = \frac{32}{2} \cdot 8 = 16 \cdot 8 = 128$.

Ответ: 128

б) Данная трапеция вписана в окружность, следовательно, она равнобедренная. Центр окружности лежит на большем основании, поэтому большее основание является диаметром этой окружности.

По условию, радиус окружности $R = 17$, а длина меньшего основания $b = 16$. Найдем длину большего основания $a$, которое равно диаметру: $a = 2R = 2 \cdot 17 = 34$.

Для вычисления площади трапеции по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$ найдем ее высоту $h$. Пусть трапеция ABCD имеет основания $AD = 34$ и $BC = 16$. Проведем высоту CH из вершины C на основание AD.

В равнобедренной трапеции длина отрезка HD равна полуразности оснований: $HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{34 - 16}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OCH, где O – центр окружности, лежащий на AD. OC – радиус, поэтому $OC = R = 17$. OD также является радиусом, $OD=17$. Найдем длину катета OH: $OH = OD - HD = 17 - 9 = 8$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику OCH, чтобы найти высоту $h = CH$: $OC^2 = OH^2 + CH^2$ $17^2 = 8^2 + h^2$ $289 = 64 + h^2$ $h^2 = 289 - 64 = 225$ $h = \sqrt{225} = 15$.

Теперь можем найти площадь трапеции: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{34 + 16}{2} \cdot 15 = \frac{50}{2} \cdot 15 = 25 \cdot 15 = 375$.

Ответ: 375