Номер 85, страница 193 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

85*. a) В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ острый. Из вершины $A$ проведены высоты параллелограмма $AM$ и $AH$ к сторонам $BC$ и $CK$ соответственно, $MH : AC = 3 : 4$. Найдите отношение площадей треугольников $MAH$ и $ABC$.

б) В параллелограмме $ABCP$ угол $A$ острый, $BM$ и $BH$ — высоты параллелограмма, проведенные к сторонам $AP$ и $PC$ соответственно, $MH : BP = 2 : 3$. Найдите отношение площадей треугольников $MBH$ и $BPC$.

а)

Пусть $ABCK$ — данный параллелограмм. Обозначим острый угол параллелограмма $\angle A = \angle C = \alpha$. Тогда тупые углы равны $\angle B = \angle K = 180^\circ - \alpha$. По условию, $AM$ и $AH$ — высоты, проведенные из вершины $A$ к сторонам $BC$ и $CK$ соответственно. Это означает, что $AM \perp BC$ и $AH \perp CK$.

Рассмотрим четырехугольник $AMCH$. В нем $\angle AMC = 90^\circ$ и $\angle AHC = 90^\circ$. Это следует из того, что $M$ и $H$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $A$ на прямые $BC$ и $CK$ соответственно. Точки $M$ и $H$ лежат на окружности, диаметром которой является отрезок $AC$. Это свойство точек, из которых отрезок виден под прямым углом. Таким образом, четырехугольник $AMCH$ — вписанный в окружность с диаметром $AC$.

В этой окружности $MH$ является хордой. Длина хорды связана с диаметром и углом, который она стягивает, по теореме синусов. Хорда $MH$ стягивает угол $\angle MCH$. Угол $\angle MCH$ — это угол между прямыми $CM$ (т.е. $BC$) и $CH$ (т.е. $CK$), который равен углу параллелограмма $\angle C = \alpha$. Следовательно, $MH = AC \cdot \sin(\angle MCH) = AC \cdot \sin \alpha$.

Из условия задачи известно, что $MH : AC = 3 : 4$, то есть $\frac{MH}{AC} = \frac{3}{4}$. Отсюда получаем: $\sin \alpha = \frac{3}{4}$.

Теперь найдем отношение площадей треугольников $MAH$ и $ABC$. Площадь треугольника $ABC$ выражается через стороны $AB$, $BC$ и угол между ними $\angle B$:$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin \alpha$.

Площадь треугольника $MAH$ равна $S_{MAH} = \frac{1}{2} AM \cdot AH \cdot \sin(\angle MAH)$. Во вписанном четырехугольнике $AMCH$ сумма противоположных углов равна $180^\circ$, поэтому $\angle MAH + \angle MCH = 180^\circ$. Так как $\angle MCH = \alpha$, то $\angle MAH = 180^\circ - \alpha$. Следовательно, $\sin(\angle MAH) = \sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$.

Найдем длины высот $AM$ и $AH$. Так как $\angle A$ острый, то смежный с ним угол $\angle B$ тупой. Высота $AM$, проведенная из $A$ к стороне $BC$, падает на продолжение $BC$ за точку $B$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMB$. Внешний угол при вершине $B$ параллелограмма равен $\angle ABM = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - (180^\circ - \alpha) = \alpha$. Тогда $AM = AB \cdot \sin(\angle ABM) = AB \cdot \sin \alpha$.

Аналогично, угол $\angle K$ тупой. Высота $AH$ из $A$ к $CK$ падает на продолжение $CK$ за точку $K$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHK$. Внешний угол при вершине $K$ равен $\angle AKH = 180^\circ - \angle CKA = 180^\circ - (180^\circ - \alpha) = \alpha$. В параллелограмме $AK = BC$. Тогда $AH = AK \cdot \sin(\angle AKH) = BC \cdot \sin \alpha$.

Подставим найденные выражения в формулу для площади $S_{MAH}$:$S_{MAH} = \frac{1}{2} (AB \cdot \sin \alpha) \cdot (BC \cdot \sin \alpha) \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin^3 \alpha$.

Теперь найдем искомое отношение площадей:$\frac{S_{MAH}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin^3 \alpha}{\frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin \alpha} = \sin^2 \alpha$.

Так как мы ранее нашли, что $\sin \alpha = \frac{3}{4}$, то:$\frac{S_{MAH}}{S_{ABC}} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$.

Ответ: $\frac{9}{16}$.

б)

Пусть $ABCP$ — данный параллелограмм. Обозначим острый угол параллелограмма $\angle A = \angle C = \alpha$. Тогда тупые углы равны $\angle B = \angle P = 180^\circ - \alpha$. По условию, $BM$ и $BH$ — высоты, проведенные из вершины $B$ к сторонам $AP$ и $PC$ соответственно. Это означает, что $BM \perp AP$ и $BH \perp PC$.

Рассмотрим четырехугольник $MBHP$. Так как $BM \perp AP$ и $BH \perp PC$, то $\angle BMP = 90^\circ$ и $\angle BHP = 90^\circ$. Сумма противоположных углов $\angle M$ и $\angle H$ в этом четырехугольнике равна $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Следовательно, четырехугольник $MBHP$ является вписанным в окружность. Диаметром этой окружности служит отрезок $BP$.

В этой окружности $MH$ является хордой. По теореме синусов, длина хорды $MH$ равна произведению диаметра на синус угла, который она стягивает. Хорда $MH$ стягивает угол $\angle MPH$. Угол $\angle MPH$ — это угол параллелограмма $\angle P = 180^\circ - \alpha$. Следовательно, $MH = BP \cdot \sin(\angle MPH) = BP \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = BP \cdot \sin \alpha$.

Из условия задачи известно, что $MH : BP = 2 : 3$, то есть $\frac{MH}{BP} = \frac{2}{3}$. Отсюда получаем: $\sin \alpha = \frac{2}{3}$.

Теперь найдем отношение площадей треугольников $MBH$ и $BPC$. Площадь треугольника $BPC$ выражается через стороны $BC$, $PC$ и угол между ними $\angle C$:$S_{BPC} = \frac{1}{2} BC \cdot PC \cdot \sin(\angle BCP)$. В параллелограмме $ABCP$, $BC = AP$ и $PC = AB$, а $\angle BCP = \angle C = \alpha$.$S_{BPC} = \frac{1}{2} AP \cdot AB \cdot \sin \alpha$.

Площадь треугольника $MBH$ равна $S_{MBH} = \frac{1}{2} BM \cdot BH \cdot \sin(\angle MBH)$. Во вписанном четырехугольнике $MBHP$ сумма противоположных углов равна $180^\circ$, поэтому $\angle MBH + \angle MPH = 180^\circ$. Так как $\angle MPH = 180^\circ - \alpha$, то $\angle MBH = 180^\circ - (180^\circ - \alpha) = \alpha$.

Найдем длины высот $BM$ и $BH$. Так как $\angle A$ острый, высота $BM$ из $B$ к стороне $AP$ падает на саму сторону $AP$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BMA$:$BM = AB \cdot \sin(\angle A) = AB \cdot \sin \alpha$.

Аналогично, $\angle C$ острый, поэтому высота $BH$ из $B$ к стороне $PC$ падает на саму сторону $PC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. В параллелограмме $BC = AP$.$BH = BC \cdot \sin(\angle C) = AP \cdot \sin \alpha$.

Подставим найденные выражения в формулу для площади $S_{MBH}$:$S_{MBH} = \frac{1}{2} (AB \cdot \sin \alpha) \cdot (AP \cdot \sin \alpha) \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} AP \cdot AB \cdot \sin^3 \alpha$.

Теперь найдем искомое отношение площадей:$\frac{S_{MBH}}{S_{BPC}} = \frac{\frac{1}{2} AP \cdot AB \cdot \sin^3 \alpha}{\frac{1}{2} AP \cdot AB \cdot \sin \alpha} = \sin^2 \alpha$.

Так как мы ранее нашли, что $\sin \alpha = \frac{2}{3}$, то:$\frac{S_{MBH}}{S_{BPC}} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{4}{9}$.