Номер 92, страница 195 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

92. а) Из точки вне окружности к ней проведены две секущие, образующие угол $45^\circ$. Градусная мера меньшей дуги, заключенной между сторонами угла, равна $30^\circ$. Найдите величину большей дуги.

б) Из точки вне окружности к ней проведены две секущие, образующие угол $50^\circ$. Градусная мера большей дуги, заключенной между сторонами угла, равна $120^\circ$. Найдите величину меньшей дуги.

а) Для решения задачи используется теорема об угле между двумя секущими, проведенными из одной точки к окружности. Величина этого угла равна полуразности градусных мер большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.

Пусть $\alpha$ — угол между секущими, $L$ — градусная мера большей дуги, а $l$ — градусная мера меньшей дуги. Формула имеет вид:

$\alpha = \frac{L - l}{2}$

По условию задачи дано:
$\alpha = 45^\circ$
$l = 30^\circ$

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти величину большей дуги $L$:

$45^\circ = \frac{L - 30^\circ}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$2 \cdot 45^\circ = L - 30^\circ$

$90^\circ = L - 30^\circ$

Выразим $L$:

$L = 90^\circ + 30^\circ$

$L = 120^\circ$

Ответ: $120^\circ$.

б) Используем ту же теорему и формулу, что и в предыдущем пункте:

$\alpha = \frac{L - l}{2}$

По условию этой задачи дано:
$\alpha = 50^\circ$
$L = 120^\circ$

Подставим известные значения в формулу для нахождения величины меньшей дуги $l$:

$50^\circ = \frac{120^\circ - l}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$2 \cdot 50^\circ = 120^\circ - l$

$100^\circ = 120^\circ - l$

Выразим $l$:

$l = 120^\circ - 100^\circ$

$l = 20^\circ$

Ответ: $20^\circ$.