Номер 90, страница 195 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

90. а) Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность так, что сторона $AD$ является диаметром окружности и угол $ABC$ равен $134^\circ$. Найдите градусную меру угла $CAD$.

б) Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность так, что сторона $AB$ является диаметром окружности и угол $ADC$ равен $122^\circ$. Найдите градусную меру угла $CAB$.

а)

Поскольку четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Это свойство вписанного четырехугольника.
Зная, что $\angle ABC = 134^\circ$, мы можем найти противолежащий ему угол $\angle ADC$:
$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ$.
В условии сказано, что сторона $AD$ является диаметром окружности. Вписанный угол, который опирается на диаметр, всегда равен $90^\circ$. В нашем случае угол $\angle ACD$ опирается на диаметр $AD$, следовательно, треугольник $ACD$ является прямоугольным с прямым углом $\angle ACD = 90^\circ$.
Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $ACD$ мы знаем два угла: $\angle ACD = 90^\circ$ и $\angle ADC = 46^\circ$. Можем найти третий угол $\angle CAD$:
$\angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ$
$\angle CAD + 90^\circ + 46^\circ = 180^\circ$
$\angle CAD + 136^\circ = 180^\circ$
$\angle CAD = 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ$.
Ответ: $44^\circ$.

б)

Аналогично пункту а), используем свойство вписанного четырехугольника, согласно которому сумма противоположных углов равна $180^\circ$.
Нам дан угол $\angle ADC = 122^\circ$. Найдем противолежащий ему угол $\angle ABC$:
$\angle ABC = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 122^\circ = 58^\circ$.
По условию, сторона $AB$ является диаметром окружности. Вписанный угол $\angle ACB$ опирается на диаметр $AB$, поэтому он прямой: $\angle ACB = 90^\circ$.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Он является прямоугольным. Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$. Мы знаем два угла: $\angle ACB = 90^\circ$ и $\angle ABC = 58^\circ$. Найдем искомый угол $\angle CAB$:
$\angle CAB + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$
$\angle CAB + 58^\circ + 90^\circ = 180^\circ$
$\angle CAB + 148^\circ = 180^\circ$
$\angle CAB = 180^\circ - 148^\circ = 32^\circ$.
Ответ: $32^\circ$.