Номер 86, страница 194 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

86. a) Окружность разделена тремя точками на дуги, градусные меры которых относятся как 2 : 7 : 3. Найдите градусную меру большего угла треугольника, вершинами которого являются эти точки.

б) Окружность разделена четырьмя точками на дуги, градусные меры которых относятся как 1 : 3 : 15 : 17 в указанном порядке. Найдите величину большего угла четырехугольника, вершинами которого являются эти точки.

а)

Градусная мера всей окружности составляет $360^\circ$. Три точки делят окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как $2:7:3$. Обозначим градусные меры этих дуг как $2x$, $7x$ и $3x$.

Сумма градусных мер всех дуг равна $360^\circ$:

$2x + 7x + 3x = 360^\circ$

$12x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$

Теперь мы можем найти градусные меры каждой дуги:

• Дуга 1: $2x = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$
• Дуга 2: $7x = 7 \cdot 30^\circ = 210^\circ$
• Дуга 3: $3x = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$

Точки, делящие окружность, являются вершинами вписанного треугольника. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Больший угол треугольника опирается на большую дугу. В нашем случае наибольшая дуга равна $210^\circ$.

Найдем величину большего угла треугольника:

$\alpha_{max} = \frac{210^\circ}{2} = 105^\circ$

Для проверки найдем и остальные углы: $\alpha_1 = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$ и $\alpha_2 = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$. Сумма углов: $105^\circ + 30^\circ + 45^\circ = 180^\circ$, что верно для треугольника.

Ответ: $105^\circ$

б)

Окружность разделена четырьмя точками на дуги, градусные меры которых относятся как $1:3:15:17$. Обозначим их как $x$, $3x$, $15x$ и $17x$. Сумма этих дуг равна $360^\circ$.

Составим уравнение:

$x + 3x + 15x + 17x = 360^\circ$

$36x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{36} = 10^\circ$

Теперь найдем градусные меры каждой дуги в указанном порядке:

• Дуга 1: $x = 10^\circ$
• Дуга 2: $3x = 3 \cdot 10^\circ = 30^\circ$
• Дуга 3: $15x = 15 \cdot 10^\circ = 150^\circ$
• Дуга 4: $17x = 17 \cdot 10^\circ = 170^\circ$

Эти четыре точки являются вершинами вписанного в окружность четырехугольника. Угол вписанного четырехугольника равен половине дуги, на которую он опирается. Дуга, на которую опирается угол, состоит из дуг, заключенных между соседними с ним вершинами.

Пусть вершины четырехугольника $A, B, C, D$ расположены на окружности последовательно. Тогда дуги между ними равны: дуга $AB = 10^\circ$, дуга $BC = 30^\circ$, дуга $CD = 150^\circ$, дуга $DA = 170^\circ$.

Найдем величины всех углов четырехугольника:

• Угол $A$ ($\angle DAB$) опирается на дугу $BCD$, равную сумме дуг $BC$ и $CD$: $30^\circ + 150^\circ = 180^\circ$.
  $\angle A = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.
• Угол $B$ ($\angle ABC$) опирается на дугу $CDA$, равную сумме дуг $CD$ и $DA$: $150^\circ + 170^\circ = 320^\circ$.
  $\angle B = \frac{320^\circ}{2} = 160^\circ$.
• Угол $C$ ($\angle BCD$) опирается на дугу $DAB$, равную сумме дуг $DA$ и $AB$: $170^\circ + 10^\circ = 180^\circ$.
  $\angle C = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.
• Угол $D$ ($\angle CDA$) опирается на дугу $ABC$, равную сумме дуг $AB$ и $BC$: $10^\circ + 30^\circ = 40^\circ$.
  $\angle D = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ$.

Полученные углы: $90^\circ, 160^\circ, 90^\circ, 20^\circ$. Наибольший из этих углов равен $160^\circ$.

Ответ: $160^\circ$