Номер 80, страница 192 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

80*. Докажите, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов ее боковых сторон и удвоенного произведения ее оснований, т. е. $d_1^2 + d_2^2 = b^2 + d^2 + 2ac$, где $b, d$ — боковые стороны трапеции, $a, c$ — основания трапеции, $d_1, d_2$ — диагонали трапеции.

Для доказательства данного тождества рассмотрим трапецию $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. Обозначим длины сторон и диагоналей в соответствии с условием: основания $AD = a$ и $BC = c$; боковые стороны $AB = b$ и $CD = d$; диагонали $AC = d_1$ и $BD = d_2$. Для определенности будем считать, что $a \ge c$.

Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$. Длина этих высот одинакова: $BH = CK = h$. Четырехугольник $BCKH$ является прямоугольником, поскольку $BC \parallel AD$ и высоты $BH$, $CK$ перпендикулярны $AD$. Следовательно, $HK = BC = c$.

Применим теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам, образованным диагоналями и высотами. В прямоугольном треугольнике $\triangle ACK$ имеем: $AC^2 = AK^2 + CK^2$. Отрезок $AK$ можно выразить через основание $a$ и проекцию $KD$: $AK = AD - KD = a - KD$. Тогда $d_1^2 = (a - KD)^2 + h^2$. Из другого прямоугольного треугольника $\triangle CKD$ по теореме Пифагора $h^2 = CD^2 - KD^2 = d^2 - KD^2$. Подставив $h^2$ в выражение для $d_1^2$, получаем: $d_1^2 = (a - KD)^2 + d^2 - KD^2 = a^2 - 2a \cdot KD + KD^2 + d^2 - KD^2 = a^2 + d^2 - 2a \cdot KD$.

Аналогично поступим для диагонали $d_2$. В прямоугольном треугольнике $\triangle BHD$ имеем: $BD^2 = HD^2 + BH^2$. Отрезок $HD$ выражается как $HD = AD - AH = a - AH$. Тогда $d_2^2 = (a - AH)^2 + h^2$. Из прямоугольного треугольника $\triangle ABH$ по теореме Пифагора $h^2 = AB^2 - AH^2 = b^2 - AH^2$. Подставив $h^2$ в выражение для $d_2^2$, получаем: $d_2^2 = (a - AH)^2 + b^2 - AH^2 = a^2 - 2a \cdot AH + AH^2 + b^2 - AH^2 = a^2 + b^2 - 2a \cdot AH$.

Теперь сложим полученные выражения для квадратов диагоналей: $d_1^2 + d_2^2 = (a^2 + d^2 - 2a \cdot KD) + (a^2 + b^2 - 2a \cdot AH)$ $d_1^2 + d_2^2 = b^2 + d^2 + 2a^2 - 2a(AH + KD)$

Длина основания $a$ связана с проекциями $AH$, $KD$ и основанием $c$ соотношением $a = AH + HK + KD = AH + c + KD$. Отсюда находим сумму проекций: $AH + KD = a - c$.

Подставим это выражение в формулу для суммы квадратов диагоналей: $d_1^2 + d_2^2 = b^2 + d^2 + 2a^2 - 2a(a - c)$ $d_1^2 + d_2^2 = b^2 + d^2 + 2a^2 - 2a^2 + 2ac$ $d_1^2 + d_2^2 = b^2 + d^2 + 2ac$

Таким образом, требуемое тождество доказано.

Ответ: Доказано, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов ее боковых сторон и удвоенного произведения ее оснований: $d_1^2 + d_2^2 = b^2 + d^2 + 2ac$.