Номер 83, страница 193 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

83. a) Прямоугольная трапеция описана около окружности. Найдите бо́льшую боковую сторону трапеции, если ее основания равны 2 и 3.

б) Около прямоугольной трапеции описана окружность. Найдите меньшую боковую сторону трапеции, если ее основания равны 3 и 6.

а)

Пусть дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Обозначим её основания как $a$ и $b$, а боковые стороны как $c$ и $d$. По условию, основания равны $a = 2$ и $b = 3$. В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям и является высотой трапеции. Обозначим эту сторону (меньшую боковую) как $h$, а другую (большую боковую) — как $d$.

По свойству описанного четырехугольника, суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон:

$a + b = h + d$

Подставим известные значения оснований:

$2 + 3 = h + d$

$h + d = 5$

Теперь рассмотрим геометрию трапеции. Проведём из вершины меньшего основания высоту на большее основание. Эта высота отсечёт от трапеции прямоугольный треугольник, у которого:

• Один катет — это высота трапеции $h$.
• Второй катет равен разности длин оснований, то есть $b - a = 3 - 2 = 1$.
• Гипотенуза — это большая боковая сторона $d$.

По теореме Пифагора для этого прямоугольного треугольника:

$d^2 = h^2 + (b-a)^2$

$d^2 = h^2 + 1^2$

$d^2 = h^2 + 1$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $h$ и $d$:

$\begin{cases} h + d = 5 \\ d^2 = h^2 + 1 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $h$: $h = 5 - d$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$d^2 = (5 - d)^2 + 1$

Раскроем скобки:

$d^2 = (25 - 10d + d^2) + 1$

$d^2 = 26 - 10d + d^2$

Сократим $d^2$ в обеих частях уравнения:

$0 = 26 - 10d$

$10d = 26$

$d = 2.6$

Таким образом, большая боковая сторона трапеции равна 2.6.

Ответ: 2.6

б)

Рассмотрим условие, что около прямоугольной трапеции описана окружность. Это означает, что все четыре вершины трапеции лежат на этой окружности (трапеция вписана в окружность).

Известно, что четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.

Прямоугольная трапеция по определению имеет два прямых угла, прилегающих к одной из боковых сторон. Пусть в трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям. В этом случае углы $\angle A$ и $\angle B$ являются прямыми, то есть $\angle A = 90^\circ$ и $\angle B = 90^\circ$.

Так как трапеция вписана в окружность, сумма её противоположных углов должна быть равна $180^\circ$. Проверим это свойство для углов $A$ и $C$, а также $B$ и $D$:

$\angle A + \angle C = 180^\circ \implies 90^\circ + \angle C = 180^\circ \implies \angle C = 90^\circ$

$\angle B + \angle D = 180^\circ \implies 90^\circ + \angle D = 180^\circ \implies \angle D = 90^\circ$

Из этого следует, что все четыре угла трапеции должны быть прямыми. Четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником.

У прямоугольника противоположные стороны равны. Следовательно, его параллельные стороны, которые являются основаниями трапеции, должны быть равны между собой.

Однако в условии задачи дано, что длины оснований равны 3 и 6. Так как $3 \ne 6$, основания не равны. Мы пришли к противоречию.

Противоречие означает, что исходные условия задачи несовместимы. Прямоугольная трапеция может быть вписана в окружность только если она является прямоугольником, что требует равенства оснований. Следовательно, трапеции, удовлетворяющей заданным условиям, не существует.

Ответ: Такая трапеция не существует.