Номер 89, страница 194 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

89. а) Докажите, что перпендикуляры к хорде окружности, проведенные через ее концы, пересекают произвольный диаметр в точках, которые одинаково удалены от центра окружности.

б) Докажите, что если провести перпендикуляры из концов произвольного диаметра окружности на любую хорду этой окружности или ее продолжение, то основания этих перпендикуляров будут одинаково отстоять от соответствующих концов хорды.

а)

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Пусть $AB$ – её хорда, а $MN$ – произвольный диаметр. Проведем через концы хорды $A$ и $B$ прямые $l_A$ и $l_B$, перпендикулярные хорде $AB$. Пусть эти прямые пересекают диаметр $MN$ в точках $P$ и $Q$ соответственно.

Требуется доказать, что точки $P$ и $Q$ одинаково удалены от центра $O$, то есть $OP = OQ$.

Проведем из центра окружности $O$ перпендикуляр $OK$ к хорде $AB$. По свойству окружности, перпендикуляр, опущенный из центра на хорду, делит эту хорду пополам. Следовательно, точка $K$ является серединой хорды $AB$, и $AK = KB$.

По построению, прямые $l_A$, $l_B$ и $OK$ перпендикулярны одной и той же прямой $AB$. Следовательно, эти три прямые параллельны между собой: $l_A \parallel OK \parallel l_B$.

Рассмотрим эти три параллельные прямые и две секущие: прямую, содержащую хорду $AB$, и прямую, содержащую диаметр $MN$.

Прямая $AB$ пересекает параллельные прямые $l_A$, $OK$ и $l_B$ в точках $A$, $K$ и $B$ соответственно. Поскольку $K$ – середина $AB$, отрезки, отсекаемые на этой секущей, равны: $AK = KB$.

Прямая $MN$ пересекает те же параллельные прямые $l_A$, $OK$ и $l_B$ в точках $P$, $O$ и $Q$ соответственно (прямая $OK$ проходит через центр $O$).

Согласно теореме Фалеса, если параллельные прямые отсекают на одной из двух прямых равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на любой другой прямой, их пересекающей. В нашем случае, поскольку $AK = KB$, то и отрезки, отсекаемые на прямой $MN$, должны быть равны: $PO = OQ$.

Таким образом, доказано, что точки пересечения перпендикуляров с диаметром равноудалены от центра окружности.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Пусть $AB$ – её хорда, а $MN$ – произвольный диаметр. Проведем из концов диаметра $M$ и $N$ перпендикуляры к прямой, содержащей хорду $AB$. Пусть основаниями этих перпендикуляров являются точки $P$ и $Q$ соответственно. То есть, $MP \perp AB$ и $NQ \perp AB$.

Требуется доказать, что основания этих перпендикуляров ($P$ и $Q$) одинаково отстоят от соответствующих концов хорды. Будем доказывать, что $AP = BQ$.

Проведем из центра окружности $O$ перпендикуляр $OK$ к прямой, содержащей хорду $AB$. Точка $K$ является основанием этого перпендикуляра.

Во-первых, по свойству окружности, перпендикуляр из центра к хорде делит ее пополам. Значит, $K$ – середина хорды $AB$, то есть $AK = BK$.

Во-вторых, рассмотрим отрезок $MN$ (диаметр). Точка $O$ является его серединой. Точки $P$, $Q$ и $K$ являются ортогональными проекциями точек $M$, $N$ и $O$ на прямую $AB$. По свойству ортогональной проекции, проекция середины отрезка является серединой отрезка, образованного проекциями его концов. Поскольку $O$ – середина $MN$, то ее проекция $K$ является серединой отрезка $PQ$. Следовательно, $PK = QK$.

Итак, мы имеем два отрезка $AB$ и $PQ$ на одной прямой, и у них общая середина – точка $K$. Это означает, что $AK=BK$ и $PK=QK$. Расстояние $AP$ равно абсолютной величине разности длин отрезков $AK$ и $PK$, то есть $AP = |AK - PK|$. Аналогично, расстояние $BQ$ равно $BQ = |BK - QK|$. Так как $AK=BK$ и $PK=QK$, то очевидно, что $AP=BQ$.

Более строго, используя векторы на прямой $AB$ с началом в точке $K$, имеем: $\vec{KA} = -\vec{KB}$ и $\vec{KP} = -\vec{KQ}$. Длина отрезка $AP$ равна $|\vec{KP} - \vec{KA}|$. Длина отрезка $BQ$ равна $|\vec{KQ} - \vec{KB}| = |(-\vec{KP}) - (-\vec{KA})| = |\vec{KA} - \vec{KP}| = |-(\vec{KP} - \vec{KA})| = |\vec{KP} - \vec{KA}|$.

Следовательно, $AP = BQ$. Аналогично можно доказать, что и $AQ = BP$. Таким образом, утверждение задачи доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.