Номер 91, страница 195 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

91. а) Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, угол $BAD$ равен $70^{\circ}$, угол $ADC$ — $80^{\circ}$, а угол $ABD$ — $50^{\circ}$. Найдите величину острого угла между диагоналями четырехугольника $ABCD$.

б) Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, угол $ADC$ равен $75^{\circ}$, угол $BCD$ — $80^{\circ}$, а угол $CBD$ — $30^{\circ}$. Найдите величину острого угла между диагоналями четырехугольника $ABCD$.

а) Пусть диагонали четырехугольника $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$. Угол между диагоналями — это один из углов при их пересечении, например, $\angle AEB$ или $\angle AED$. Найдем один из них, рассмотрев треугольник, образованный стороной четырехугольника и отрезками диагоналей, например, $\triangle ABE$. Угол $\angle AEB = 180^\circ - \angle EAB - \angle EBA$.
По условию, $\angle ABD = 50^\circ$, следовательно $\angle EBA = 50^\circ$.
Так как четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.
$\angle ABC = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.
Угол $\angle ABC$ состоит из двух углов: $\angle ABD$ и $\angle CBD$.
$\angle CBD = \angle ABC - \angle ABD = 100^\circ - 50^\circ = 50^\circ$.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle CAD$ и $\angle CBD$ опираются на дугу $CD$, поэтому $\angle CAD = \angle CBD = 50^\circ$.
Угол $\angle BAD$ состоит из двух углов: $\angle BAC$ и $\angle CAD$.
$\angle BAC = \angle BAD - \angle CAD = 70^\circ - 50^\circ = 20^\circ$.
Теперь вернемся к треугольнику $ABE$. Нам известны два его угла:
$\angle EAB = \angle BAC = 20^\circ$.
$\angle EBA = \angle ABD = 50^\circ$.
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle AEB = 180^\circ - (\angle EAB + \angle EBA) = 180^\circ - (20^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.
Угол $\angle AEB$ является тупым углом между диагоналями. Смежный с ним угол $\angle AED$ будет острым:
$\angle AED = 180^\circ - \angle AEB = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.
Таким образом, острый угол между диагоналями равен $70^\circ$.
Ответ: $70^\circ$.

б) Пусть диагонали четырехугольника $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$. Найдем острый угол между ними, определив величину угла $\angle CED$ в треугольнике $CDE$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle CED = 180^\circ - \angle ECD - \angle EDC$.
Так как четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.
$\angle DAB = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.
$\angle ABC = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle CAD$ и $\angle CBD$ опираются на дугу $CD$. По условию $\angle CBD = 30^\circ$, следовательно $\angle CAD = 30^\circ$.
Угол $\angle DAB$ состоит из двух углов: $\angle CAD$ и $\angle BAC$.
$\angle BAC = \angle DAB - \angle CAD = 100^\circ - 30^\circ = 70^\circ$.
Углы $\angle BDC$ и $\angle BAC$ опираются на дугу $BC$, поэтому $\angle BDC = \angle BAC = 70^\circ$. Это угол $\angle EDC$ в треугольнике $CDE$.
Угол $\angle ABC$ состоит из двух углов: $\angle ABD$ и $\angle CBD$.
$\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 105^\circ - 30^\circ = 75^\circ$.
Углы $\angle ACD$ и $\angle ABD$ опираются на дугу $AD$, поэтому $\angle ACD = \angle ABD = 75^\circ$. Это угол $\angle ECD$ в треугольнике $CDE$.
Теперь найдем угол $\angle CED$ в треугольнике $CDE$:
$\angle CED = 180^\circ - (\angle ECD + \angle EDC) = 180^\circ - (75^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 145^\circ = 35^\circ$.
Поскольку $35^\circ < 90^\circ$, это и есть искомый острый угол между диагоналями.
Ответ: $35^\circ$.