Номер 88, страница 194 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

88. a) В четырехугольнике $ABCD$ угол $CBD$ равен $58^\circ$, угол $ABD = 44^\circ$, а угол $ADC = 78^\circ$. Найдите градусную меру угла $CAD$.

б) В четырехугольнике $ABCD$ угол $BCA$ равен $80^\circ$, угол $ACD = 28^\circ$, а угол $BAD = 72^\circ$. Найдите градусную меру угла $ABD$.

а) Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. По условию задачи нам даны следующие углы: $ \angle CBD = 58^\circ $, $ \angle ABD = 44^\circ $, и $ \angle ADC = 78^\circ $.
Для начала найдем величину угла $ \angle ABC $. Этот угол состоит из двух углов: $ \angle ABD $ и $ \angle CBD $.
$ \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 44^\circ + 58^\circ = 102^\circ $.
Теперь проверим свойство вписанного четырехугольника. Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.
Найдем сумму противоположных углов $ \angle ABC $ и $ \angle ADC $:
$ \angle ABC + \angle ADC = 102^\circ + 78^\circ = 180^\circ $.
Так как сумма противоположных углов равна $180^\circ$, то четырехугольник $ABCD$ является вписанным в окружность.
В вписанном четырехугольнике вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Угол $ \angle CAD $, который нам нужно найти, и угол $ \angle CBD $ опираются на одну и ту же дугу $CD$.
Следовательно, их градусные меры равны:
$ \angle CAD = \angle CBD = 58^\circ $.
Ответ: $58^\circ$.

б) Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. По условию задачи нам даны следующие углы: $ \angle BCA = 80^\circ $, $ \angle ACD = 28^\circ $, и $ \angle BAD = 72^\circ $.
Для начала найдем величину угла $ \angle BCD $. Этот угол состоит из двух углов: $ \angle BCA $ и $ \angle ACD $.
$ \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 80^\circ + 28^\circ = 108^\circ $.
Теперь проверим, можно ли вписать четырехугольник $ABCD$ в окружность. Для этого найдем сумму его противоположных углов $ \angle BAD $ и $ \angle BCD $:
$ \angle BAD + \angle BCD = 72^\circ + 108^\circ = 180^\circ $.
Поскольку сумма противоположных углов равна $180^\circ$, то четырехугольник $ABCD$ является вписанным в окружность.
Углы, вписанные в окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Угол $ \angle ABD $, который нам нужно найти, и угол $ \angle ACD $ опираются на одну и ту же дугу $AD$.
Следовательно, их градусные меры равны:
$ \angle ABD = \angle ACD = 28^\circ $.
Ответ: $28^\circ$.