Номер 81, страница 192 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

81. a) Четырехугольник $ABCD$ с равными углами $B$ и $D$ вписан в окружность. Найдите площадь четырехугольника, если $AC = 13$ см, $BC = 5$ см, а $AD = 12$ см.

б) Четырехугольник $ABCD$ с равными углами $B$ и $D$ вписан в окружность. Найдите большую сторону четырехугольника, если $AC = 2\sqrt{13}$ см, $BC = 4$ см, а $AD = 5$ см.

а)

Поскольку четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, сумма его противолежащих углов равна $180°$. Таким образом, $∠B + ∠D = 180°$.

В условии задачи сказано, что $∠B = ∠D$. Объединив эти два условия, получаем: $∠B + ∠B = 180°$, или $2∠B = 180°$, откуда следует, что $∠B = 90°$. Следовательно, $∠D$ также равен $90°$.

Так как углы $B$ и $D$ прямые, то треугольники $ABC$ и $ADC$ являются прямоугольными. Их общая сторона $AC$ является гипотенузой для обоих треугольников и диаметром описанной окружности.

Площадь четырехугольника $ABCD$ можно найти как сумму площадей этих двух треугольников: $S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ ($∠B = 90°$). По теореме Пифагора $AB^2 + BC^2 = AC^2$. Известны гипотенуза $AC = 13$ см и катет $BC = 5$ см. Найдем катет $AB$:

$AB^2 + 5^2 = 13^2$

$AB^2 + 25 = 169$

$AB^2 = 169 - 25 = 144$

$AB = \sqrt{144} = 12$ см.

Площадь треугольника $ABC$ равна половине произведения его катетов:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30$ см².

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$ ($∠D = 90°$). По теореме Пифагора $AD^2 + CD^2 = AC^2$. Известны гипотенуза $AC = 13$ см и катет $AD = 12$ см. Найдем катет $CD$:

$12^2 + CD^2 = 13^2$

$144 + CD^2 = 169$

$CD^2 = 169 - 144 = 25$

$CD = \sqrt{25} = 5$ см.

Площадь треугольника $ADC$ равна:

$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30$ см².

Итоговая площадь четырехугольника $ABCD$:

$S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC} = 30 + 30 = 60$ см².

Ответ: 60 см².

б)

Как и в предыдущем пункте, из условий, что четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность и $∠B = ∠D$, следует, что $∠B = ∠D = 90°$. Таким образом, четырехугольник $ABCD$ состоит из двух прямоугольных треугольников $ABC$ и $ADC$ с общей гипотенузой $AC$.

Стороны четырехугольника — это $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$. По условию $AC = 2\sqrt{13}$ см, $BC = 4$ см, $AD = 5$ см. Нам нужно найти длины неизвестных сторон $AB$ и $CD$ и затем сравнить все четыре стороны.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($∠B=90°$) по теореме Пифагора:

$AB^2 + BC^2 = AC^2$

$AB^2 + 4^2 = (2\sqrt{13})^2$

$AB^2 + 16 = 4 \cdot 13 = 52$

$AB^2 = 52 - 16 = 36$

$AB = \sqrt{36} = 6$ см.

В прямоугольном треугольнике $ADC$ ($∠D=90°$) по теореме Пифагора:

$AD^2 + CD^2 = AC^2$

$5^2 + CD^2 = (2\sqrt{13})^2$

$25 + CD^2 = 52$

$CD^2 = 52 - 25 = 27$

$CD = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь сравним длины всех сторон четырехугольника: $AB=6$ см, $BC=4$ см, $AD=5$ см и $CD=3\sqrt{3}$ см.

Сравним $6$ и $3\sqrt{3}$. Для этого возведем оба числа в квадрат:

$6^2 = 36$

$(3\sqrt{3})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$

Поскольку $36 > 27$, то $6 > 3\sqrt{3}$.

Сравнивая числовые значения всех сторон ($6$, $4$, $5$ и $3\sqrt{3} \approx 5.2$), мы видим, что наибольшей является сторона $AB$, равная $6$ см.

Ответ: 6 см.