Номер 94, страница 196 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

94. a) На прямой, содержащей хорду $BC$, взята точка $A$ (точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$). Градусная мера дуги $BC$ равна $112^\circ$. Касательная $AK$ точкой касания $K$ делит эту дугу в отношении $3 : 4$. Найдите величину угла $\angle BAK$.

б) Хорда $AC$ стягивает дугу $AKC$. Из точки $B$, взятой на прямой $AC$ (точка $A$ лежит между точками $B$ и $C$), проведена касательная $BT$, причем точка касания $T$ делит дугу $AKC$ на две дуги, разность градусных мер которых равна $18^\circ$. Найдите величину угла $\angle ABT$.

Угол между касательной и секущей, проведенными к окружности из одной внешней точки, равен половине разности градусных мер дуг, заключенных между сторонами этого угла.

В данной задаче точка А является внешней точкой, из которой проведены касательная АК и секущая АС. Секущая пересекает окружность в точках B и C. Следовательно, искомый угол $ \angle BAK $ вычисляется по формуле:

$ \angle BAK = \frac{1}{2} (\cup KC - \cup KB) $

Из условия известно, что градусная мера всей дуги BC равна $112^\circ$. Точка касания K делит эту дугу на две части, $\cup BK$ и $\cup KC$, так что $ \cup BK + \cup KC = 112^\circ $.

Отношение градусных мер этих дуг равно $3:4$, то есть $ \cup BK : \cup KC = 3 : 4 $. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда $ \cup BK = 3x $ и $ \cup KC = 4x $.

Составим и решим уравнение:

$ 3x + 4x = 112^\circ $

$ 7x = 112^\circ $

$ x = \frac{112}{7} = 16^\circ $

Теперь найдем градусные меры каждой из дуг:

$ \cup BK = 3 \cdot 16^\circ = 48^\circ $

$ \cup KC = 4 \cdot 16^\circ = 64^\circ $

Подставим найденные значения в формулу для угла $ \angle BAK $:

$ \angle BAK = \frac{1}{2} (64^\circ - 48^\circ) = \frac{1}{2} (16^\circ) = 8^\circ $.

Ответ: $8^\circ$.

Эта задача также основана на свойстве угла между касательной и секущей, проведенными из одной точки вне окружности.

Точка B находится на прямой AC вне отрезка AC, так что A лежит между B и C. Из точки B проведены касательная BT и секущая BC, которая пересекает окружность в точках A и C. Угол $ \angle ABT $ является углом между касательной и секущей.

Его величина равна половине разности градусных мер дуг, заключенных между его сторонами. Этими дугами являются дуга TC (дальняя дуга, так как C - дальняя точка пересечения) и дуга TA (ближняя дуга).

Формула для вычисления угла:

$ \angle ABT = \frac{1}{2} (\cup TC - \cup TA) $

По условию, точка касания T делит дугу AC на две дуги, разность градусных мер которых равна $18^\circ$. Это и есть разность $ \cup TC - \cup TA $, поскольку C — более удаленная от B точка, чем A.

Следовательно, $ \cup TC - \cup TA = 18^\circ $.

Подставим это значение в формулу:

$ \angle ABT = \frac{1}{2} \cdot 18^\circ = 9^\circ $.

Ответ: $9^\circ$.